Упр.117 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1. $$y=\sqrt{x^2-2x-48}$$
2. $$y=\frac{2x-1}{\sqrt{4x-16x^2}}$$
3. $$y=\sqrt{x^2-5x-14}-\frac{3}{x^2-25}$$
4. $$y=\frac{x+3}{\sqrt{14-3x-2x^2}}+\frac{x-1}{2x^2-3x+1}$$

1) Для корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x^2-2x-48\ge 0$$

Найдём корни уравнения $$x^2-2x-48=0$$:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-48)=4+192=196,$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 14}{2},\quad x_1=-6,\; x_2=8.$$

Тогда

$$(x+6)(x-8)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -6 \text{ или } x\ge 8.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-6]\cup[8;+\infty).$$

2) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$$4x-16x^2>0.$$

Вынесем общий множитель:

$$4x(1-4x)>0,$$

или

$$x(4x-1)<0.$$

Отсюда

$$0<x<\frac14.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac14\right).$$

3) Здесь должны выполняться два условия:

$$x^2-5x-14\ge 0,$$

$$x^2-25\ne 0.$$

Решим первое неравенство:

$$x^2-5x-14=(x-7)(x+2)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -2 \text{ или } x\ge 7.$$

Второе условие даёт:

$$x\ne -5,\quad x\ne 5.$$

С учётом первого условия получаем:

$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-2]\cup[7;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-2]\cup[7;+\infty).$$

4) Сначала найдём условия существования каждого слагаемого:

$$14-3x-2x^2>0,$$

$$2x^2-3x+1\ne 0.$$

Решим первое неравенство:

$$2x^2+3x-14<0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-14)=9+112=121,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{4},\quad x_1=-\frac72,\; x_2=2.$$

Тогда

$$-\frac72<x<2.$$

Теперь рассмотрим знаменатель второй дроби:

$$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)\ne 0,$$

значит

$$x\ne \frac12,\quad x\ne 1.$$

Итак, область определения:

$$x\in\left(-\frac72;\frac12\right)\cup\left(\frac12;1\right)\cup(1;2).$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac72;\frac12\right)\cup\left(\frac12;1\right)\cup(1;2).$$