Упр.115 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите множество решений неравенства:
1) $$(2x+1)(x-4)\le 5$$;
2) $$(x-4)^2+12\ge(3x-2)^2$$;
3) $$\frac{x^2-9}{5}-\frac{x+1}{4}\ge\frac{x-5}{2}$$;
4) $$\frac{x^2+x}{8}-\frac{3-x}{3}\ge\frac{2x^2+5}{5}-2$$.
1) $$\begin{aligned} (2x+1)(x-4)&\le 5 \\ 2x^2-8x+x-4&\le 5 \\ 2x^2-7x-9&\le 0 \end{aligned}$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-9)=49+72=121,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 11}{4},\quad x_1=-1,\quad x_2=4{,}5.$$
Тогда
$$(x+1)(x-4{,}5)\le 0,$$
откуда
$$x\in[-1;\,4{,}5].$$
2) $$\begin{aligned} (x-4)^2+12&\ge (3x-2)^2 \\ x^2-8x+16+12&\ge 9x^2-12x+4 \\ 8x^2-4x-24&\le 0 \\ 2x^2-x-6&\le 0 \end{aligned}$$
Найдём корни:
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)=1+48=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4},\quad x_1=-1{,}5,\quad x_2=2.$$
Тогда
$$(x+1{,}5)(x-2)\le 0,$$
откуда
$$x\in[-1{,}5;\,2].$$
3) $$\begin{aligned} \frac{x^2-9}{5}-\frac{x+1}{4}&\ge \frac{x-5}{2} \\ 20\left(\frac{x^2-9}{5}-\frac{x+1}{4}\right)&\ge 20\cdot\frac{x-5}{2} \\ 4(x^2-9)-5(x+1)&\ge 10(x-5) \\ 4x^2-36-5x-5&\ge 10x-50 \\ 4x^2-15x+9&\ge 0 \end{aligned}$$
Найдём корни:
$$D=(-15)^2-4\cdot 4\cdot 9=225-144=81,$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 9}{8},\quad x_1=0{,}75,\quad x_2=3.$$
Тогда
$$(x-0{,}75)(x-3)\ge 0,$$
откуда
$$x\in(-\infty;\,0{,}75]\cup[3;\,+\infty).$$
4) $$\begin{aligned} \frac{x^2+x}{8}-\frac{3-x}{3}&<\frac{2x^2+5}{5}-2 \\ 120\left(\frac{x^2+x}{8}-\frac{3-x}{3}\right)&<120\left(\frac{2x^2+5}{5}-2\right) \\ 15(x^2+x)-40(3-x)&<24(2x^2+5)-240 \\ 15x^2+15x-120+40x&<48x^2+120-240 \\ 33x^2-55x&>0 \\ 11x(3x-5)&>0 \end{aligned}$$
Отсюда
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac{5}{3}.$$
Ответ
1) $$x\in[-1;\,4{,}5]$$; 2) $$x\in[-1{,}5;\,2]$$; 3) $$x\in(-\infty;\,0{,}75]\cup[3;\,+\infty)$$; 4) $$x\in(-\infty;\,0)\cup\left(\frac{5}{3};\,+\infty\right).$$
