Упр.115 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите множество решений неравенства:
1) $$(2x-1)(x+3)\geq 4$$;
2) $$(x+2)^2<13-(x-3)^2$$;
3) $$\frac{x^2+x}{2}-\frac{8x-1}{3}<-2$$;
4) $$\frac{x^2-4x}{8}+\frac{x-3}{5}\geq\frac{1-x}{6}$$.
1) $$(2x-1)(x+3)\ge 4$$
$$2x^2+6x-x-3\ge 4$$
$$2x^2+5x-7\ge 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4}$$
$$x_1=-\frac{14}{4}=-3{,}5,\qquad x_2=\frac{4}{4}=1$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$x\le -3{,}5 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;\,-3{,}5]\cup[1;\,+\infty).$$
2) $$(x+2)^2<13-(x-3)^2$$
$$x^2+4x+4<13-(x^2-6x+9)$$
$$x^2+4x+4<4-x^2+6x$$
$$2x^2-2x<0$$
$$x^2-x<0$$
$$x(x-1)<0$$
Отсюда
$$0<x<1.$$
Ответ: $$x\in(0;\,1).$$
3) $$\frac{x^2+x}{2}-\frac{8x-1}{3}<-2$$
Умножим обе части на $$6$$:
$$3(x^2+x)-2(8x-1)<-12$$
$$3x^2+3x-16x+2<-12$$
$$3x^2-13x+14<0$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot 14=169-168=1$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 1}{6}$$
$$x_1=2,\qquad x_2=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$2<x<\frac{7}{3}.$$
Ответ: $$x\in\left(2;\,\frac{7}{3}\right).$$
4) $$\frac{x^2-4x}{8}+\frac{x-3}{5}\ge \frac{1-x}{6}$$
Умножим обе части на $$120$$:
$$15(x^2-4x)+24(x-3)\ge 20(1-x)$$
$$15x^2-60x+24x-72\ge 20-20x$$
$$15x^2-16x-92\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=16^2-4\cdot 15\cdot(-92)=256+5520=5776$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm 76}{30}$$
$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac{92}{30}=\frac{46}{15}=3\frac{1}{15}$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 3\frac{1}{15}.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;\,-2]\cup\left[3\frac{1}{15};\,+\infty\right).$$
