Упр.115 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите множество решений неравенства:
1) $$(3x+1)(x-2)<6;$$
2) $$(x+3)^2-16\geq(1-2x)^2;$$
3) $$\frac{x+3}{5}-\frac{x^2-4}{8}\leq1;$$
4) $$\frac{3x^2-11}{8}<10-\frac{37-x^2}{6}.$$
1) $$\begin{aligned}(3x+1)(x-2)<6\\3x^2-6x+x-2&<6\\3x^2-5x-8&<0\end{aligned}$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-8)=25+96=121,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 11}{6},\quad x_1=-1,\quad x_2=\frac{8}{3}.$$
Тогда
$$(x+1)\left(x-\frac{8}{3}\right)<0,$$
откуда
$$-1<x<\frac{8}{3}.$$
Ответ: $$x\in\left(-1;\frac{8}{3}\right).$$
2) $$\begin{aligned}(x+3)^2-16&\ge (1-2x)^2\\x^2+6x+9-16&\ge 1-4x+4x^2\\3x^2-10x+8&\le 0\end{aligned}$$
Найдём корни:
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 2}{6},\quad x_1=\frac{4}{3},\quad x_2=2.$$
Тогда
$$\left(x-\frac{4}{3}\right)(x-2)\le 0,$$
откуда
$$\frac{4}{3}\le x\le 2.$$
Ответ: $$x\in\left[\frac{4}{3};2\right].$$
3) $$\begin{aligned}\frac{x+3}{5}-\frac{x^2-4}{8}&\le 1\\40\left(\frac{x+3}{5}-\frac{x^2-4}{8}\right)&\le 40\\8(x+3)-5(x^2-4)&\le 40\\8x+24-5x^2+20&\le 40\\5x^2-8x-4&\ge 0\end{aligned}$$
Найдём корни:
$$D=(-8)^2-4\cdot 5\cdot(-4)=64+80=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 12}{10},\quad x_1=-\frac{2}{5},\quad x_2=2.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\le -\frac{2}{5}\ \text{или}\ x\ge 2.$$
Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right]\cup[2;+\infty).$$
4) $$\begin{aligned}\frac{3x^2-11}{8}<10-\frac{37-x^2}{6}\\24\cdot \frac{3x^2-11}{8}<24\cdot 10-24\cdot \frac{37-x^2}{6}\\3(3x^2-11)<240-4(37-x^2)\\9x^2-33&<240-148+4x^2\\5x^2-125&<0\\x^2-25&<0\\(x-5)(x+5)<0\end{aligned}$$
Отсюда
$$-5<x<5.$$
Ответ: $$x\in(-5;5).$$
