Упр.113 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$x^2-4x-96>0$$;
- $$x^2+3x-28\leq 0$$;
- $$-x^2+2{,}8x+0{,}6<0$$;
- $$-3x^2+7x+6<0$$;
- $$3x^2+18x\geq 0$$;
- $$25x^2-49<0$$;
- $$49x^2+14x+1>0$$;
- $$x^2-16x+64\geq 0$$;
- $$3x^2+2x+4>0$$;
- $$4x^2-4x+1\leq 0$$;
- $$4x^2-60x+225<0$$;
- $$2x^2+x+3\leq 0$$.
1) $$x^2-4x-96>0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-96)=16+384=400$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 20}{2}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=12$$
$$x^2-4x-96=(x+8)(x-12)$$
Произведение положительно вне корней:
$$x\in(-\infty;-8)\cup(12;+\infty)$$
2) $$x^2+3x-28\le 0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-28)=9+112=121$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=4$$
$$x^2+3x-28=(x+7)(x-4)$$
Тогда
$$x\in[-7;4]$$
3) $$-x^2+2{,}8x+0{,}6<0$$
Умножим на $$-5$$, изменив знак неравенства:
$$5x^2-14x-3>0$$
$$D=(-14)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=196+60=256$$
$$x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{10}$$
$$x_1=-0{,}2,\quad x_2=3$$
$$5x^2-14x-3=(x+0{,}2)(x-3)$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-0{,}2)\cup(3;+\infty)$$
4) $$-3x^2+7x+6<0$$
Умножим на $$-1$$:
$$3x^2-7x-6>0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 3\cdot(-6)=49+72=121$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 11}{6}$$
$$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=3$$
$$3x^2-7x-6=\left(x+\frac{2}{3}\right)(x-3)$$
Тогда
$$x\in(-\infty;-\frac{2}{3})\cup(3;+\infty)$$
5) $$3x^2+18x\ge 0$$
$$3x(x+6)\ge 0$$
$$x(x+6)\ge 0$$
Произведение неотрицательно, если
$$x\in(-\infty;-6]\cup[0;+\infty)$$
6) $$25x^2-49<0$$
$$25x^2<49$$
$$|x|<\frac{7}{5}$$
$$x\in\left(-\frac{7}{5};\frac{7}{5}\right)$$
7) $$49x^2+14x+1>0$$
$$49x^2+14x+1=(7x+1)^2$$
Квадрат положителен при всех $$x$$, кроме точки, где он равен нулю:
$$7x+1\ne 0,\quad x\ne -\frac{1}{7}$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-\frac{1}{7})\cup(-\frac{1}{7};+\infty)$$
8) $$x^2-16x+64\ge 0$$
$$x^2-16x+64=(x-8)^2$$
Так как квадрат неотрицателен при любых $$x$$, то
$$x\in(-\infty;+\infty)$$
9) $$3x^2+2x+4>0$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot 4=4-48=-44<0$$
Так как $$a=3>0$$ и дискриминант отрицателен, выражение всегда положительно:
$$x\in(-\infty;+\infty)$$
10) $$4x^2-4x+1\le 0$$
$$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$
Квадрат не может быть отрицательным, значит
$$2x-1=0$$
$$x=\frac{1}{2}$$
Следовательно,
$$x=\frac{1}{2}$$
11) $$4x^2-60x+225<0$$
$$4x^2-60x+225=(2x-15)^2$$
Квадрат не бывает меньше нуля, поэтому решений нет.
12) $$2x^2+x+3\le 0$$
$$D=1^2-4\cdot 2\cdot 3=1-24=-23<0$$
Так как $$a=2>0$$ и $$D<0$$, выражение всегда положительно, значит неравенство не имеет решений.
Ответ
1) $$x\in(-\infty;-8)\cup(12;+\infty)$$; 2) $$x\in[-7;4]$$; 3) $$x\in(-\infty;-0{,}2)\cup(3;+\infty)$$; 4) $$x\in(-\infty;-\frac{2}{3})\cup(3;+\infty)$$; 5) $$x\in(-\infty;-6]\cup[0;+\infty)$$; 6) $$x\in\left(-\frac{7}{5};\frac{7}{5}\right)$$; 7) $$x\in(-\infty;-\frac{1}{7})\cup(-\frac{1}{7};+\infty)$$; 8) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; 9) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; 10) $$x=\frac{1}{2}$$; 11) решений нет; 12) решений нет.
