Упр.113 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите неравенство:
- 1) $$x^2+x-30<0$$;
2) $$x^2-10x+16\geqslant 0$$;
3) $$-x^2+0{,}8x+2{,}4>0$$;
4) $$-2x^2+7x-6<0$$;
5) $$2x^2-50x\geqslant 0$$;
6) $$4x^2-49<0$$;
7) $$16x^2-8x+1>0$$;
8) $$x^2+10x+25\geqslant 0$$;
9) $$2x^2-3x+4>0$$;
10) $$9x^2-6x+1\leqslant 0$$;
11) $$4x^2-20x+25<0$$;
12) $$3x^2-x+2\leqslant 0$$.
1) $$x^2+x-30<0$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-30)=121$$
$$x_1=\frac{-1-11}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-1+11}{2}=5$$
$$x^2+x-30=(x+6)(x-5)$$
Произведение отрицательно между корнями:
$$x\in(-6;5)$$
2) $$x^2-10x+16\ge 0$$
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 16=36$$
$$x_1=\frac{10-6}{2}=2,\qquad x_2=\frac{10+6}{2}=8$$
$$x^2-10x+16=(x-2)(x-8)$$
Для ветвей, направленных вверх, неравенство $$\ge 0$$ выполняется вне промежутка между корнями:
$$x\in(-\infty;2]\cup[8;+\infty)$$
3) $$-x^2+0{,}8x+2{,}4>0$$
Умножим на $$-5$$, изменив знак неравенства:
$$5x^2-4x-12<0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-12)=256$$
$$x_1=\frac{4-16}{10}=-1{,}2,\qquad x_2=\frac{4+16}{10}=2$$
$$5x^2-4x-12=5(x+1{,}2)(x-2)$$
Следовательно,
$$x\in(-1{,}2;2)$$
4) $$-2x^2+7x-6<0$$
Умножим на $$-1$$:
$$2x^2-7x+6>0$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 6=1$$
$$x_1=\frac{7-1}{4}=1{,}5,\qquad x_2=\frac{7+1}{4}=2$$
$$2x^2-7x+6=2(x-1{,}5)(x-2)$$
Произведение положительно вне корней:
$$x\in(-\infty;1{,}5)\cup(2;+\infty)$$
5) $$2x^2-50x\ge 0$$
$$2x(x-25)\ge 0$$
Тогда
$$x\in(-\infty;0]\cup[25;+\infty)$$
6) $$4x^2-49<0$$
$$4x^2-49=(2x-7)(2x+7)$$
Произведение отрицательно между корнями:
$$-\frac{7}{2}<x<\frac{7}{2}$$
То есть
$$x\in(-3{,}5;3{,}5)$$
7) $$16x^2-8x+1>0$$
$$16x^2-8x+1=(4x-1)^2$$
Квадрат больше нуля при всех $$x$$, кроме случая, когда он равен нулю:
$$4x-1\ne 0,\qquad x\ne \frac14$$
Значит,
$$x\in(-\infty;\tfrac14)\cup(\tfrac14;+\infty)$$
8) $$x^2+10x+25\ge 0$$
$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$
Квадрат неотрицателен при любом $$x$$:
$$x\in(-\infty;+\infty)$$
9) $$2x^2-3x+4>0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0$$
Так как $$a=2>0$$ и действительных корней нет, то выражение всегда положительно:
$$x\in(-\infty;+\infty)$$
10) $$9x^2-6x+1\le 0$$
$$9x^2-6x+1=(3x-1)^2$$
Квадрат не может быть отрицательным, значит он равен нулю:
$$3x-1=0,\qquad x=\frac13$$
Следовательно,
$$x\in\left\{\frac13\right\}$$
11) $$4x^2-20x+25<0$$
$$4x^2-20x+25=(2x-5)^2$$
Квадрат не может быть меньше нуля, поэтому решений нет.
12) $$3x^2-x+2\le 0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 2=1-24=-23<0$$
Так как $$a=3>0$$ и корней нет, выражение всегда положительно, значит неравенство не имеет решений.
Ответ
1) $$(-6;5)$$; 2) $$(-\infty;2]\cup[8;+\infty)$$; 3) $$(-1{,}2;2)$$; 4) $$(-\infty;1{,}5)\cup(2;+\infty)$$; 5) $$(-\infty;0]\cup[25;+\infty)$$; 6) $$(-3{,}5;3{,}5)$$; 7) $$(-\infty;\tfrac14)\cup(\tfrac14;+\infty)$$; 8) $$(-\infty;+\infty)$$; 9) $$(-\infty;+\infty)$$; 10) $$\left\{\tfrac13\right\}$$; 11) решений нет; 12) решений нет.
