Упр.113 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$x^2-5x-36<0$$;
   2) $$x^2+7x-30\geq0$$;
   3) $$-x^2+4{,}6x-2{,}4<0$$;
   4) $$-3x^2+4x+4>0$$;
   5) $$4x^2-16x\leq0$$;
   6) $$9x^2-25>0$$;
   7) $$4x^2-12x+9>0$$;
   8) $$x^2-14x+49\geq0$$;
   9) $$5x^2-2x+1>0$$;
   10) $$64x^2-16x+1\leq0$$;
   11) $$9x^2+30x+25<0$$;
   12) $$2x^2-5x+4\leq0$$.

1) $$x^2-5x-36<0$$

$$D=5^2+4\cdot 36=169$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}$$

$$x_1=-4,\quad x_2=9$$

$$(x+4)(x-9)<0$$

$$-4<x<9$$

Ответ: $$x\in(-4;9)$$

2) $$x^2+7x-30\ge 0$$

$$D=7^2+4\cdot 30=169$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 13}{2}$$

$$x_1=-10,\quad x_2=3$$

$$(x+10)(x-3)\ge 0$$

$$x\le -10 \text{ или } x\ge 3$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-10]\cup[3;+\infty)$$

3) $$-x^2+4{,}6x-2{,}4<0$$

Умножим на $$-10$$:

$$10x^2-46x+24>0$$

Разделим на $$2$$:

$$5x^2-23x+12>0$$

$$D=23^2-4\cdot 5\cdot 12=289$$

$$x_{1,2}=\frac{23\pm 17}{10}$$

$$x_1=0{,}6,\quad x_2=4$$

$$(x-0{,}6)(x-4)>0$$

$$x<0{,}6 \text{ или } x>4$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0{,}6)\cup(4;+\infty)$$

4) $$-3x^2+4x+4>0$$

Умножим на $$-1$$:

$$3x^2-4x-4<0$$

$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 4=64$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{6}$$

$$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=2$$

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)(x-2)<0$$

$$-\frac{2}{3}<x<2$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac{2}{3};2\right)$$

5) $$4x^2-16x\le 0$$

$$4x(x-4)\le 0$$

$$x(x-4)\le 0$$

$$0\le x\le 4$$

Ответ: $$x\in[0;4]$$

6) $$9x^2-25>0$$

$$(3x-5)(3x+5)>0$$

$$x<-\frac{5}{3} \text{ или } x>\frac{5}{3}$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac{5}{3}\right)\cup\left(\frac{5}{3};+\infty\right)$$

7) $$4x^2-12x+9>0$$

$$(2x-3)^2>0$$

Квадрат положителен при всех $$x$$, кроме точки, где он равен нулю:

$$2x-3\ne 0,\quad x\ne \frac{3}{2}$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)$$

8) $$x^2-14x+49\ge 0$$

$$(x-7)^2\ge 0$$

Квадрат неотрицателен при любых $$x$$.

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty)$$

9) $$5x^2-2x+1>0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot 1= -16<0$$

Так как $$a=5>0$$ и дискриминант отрицателен, выражение всегда положительно.

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty)$$

10) $$64x^2-16x+1\le 0$$

$$(8x-1)^2\le 0$$

Квадрат не может быть отрицательным, значит он равен нулю:

$$8x-1=0$$

$$x=\frac{1}{8}$$

Ответ: $$x\in\left\{\frac{1}{8}\right\}$$

11) $$9x^2+30x+25<0$$

$$(3x+5)^2<0$$

Квадрат не бывает отрицательным, поэтому решений нет.

Ответ: решений нет.

12) $$2x^2-5x+4\le 0$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 4=25-32=-7$$

Так как $$D<0$$ и $$a=2>0$$, выражение всегда положительно.

Ответ: решений нет.