Упр.111 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции:

1. $$y=\frac{|x|}{x}\left(\frac{1}{4}x^2-x-3\right)$$;
2. $$y=x^2-2|x|-8$$;
3. $$y=x^2+8x\frac{x-3}{|x-3|}-9$$;
4. $$y=x^2+23|x-1|-x+3$$.

1) $$y=\frac{|x|}{x}\left(\frac14x^2-x-3\right), \qquad x\ne 0.$$

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=\frac{x}{x}\left(\frac14x^2-x-3\right)=\frac14x^2-x-3.$$

Это парабола с вершиной

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot \frac14}=2,\qquad y_0=\frac14\cdot 2^2-2-3=-4.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=\frac{-x}{x}\left(\frac14x^2-x-3\right)=-\frac14x^2+x+3.$$

Её вершина:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot \left(-\frac14\right)}=2,\qquad y_0=-\frac14\cdot 2^2+2+3=4.$$

График состоит из двух ветвей парабол, при $$x>0$$ и $$x<0,$$ с выколотой точкой при $$x=0.$$

2) $$y=x^2-2|x|-8.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$y=x^2-2x-8.$$

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1,\qquad y_0=1-2-8=-9.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$y=x^2+2x-8.$$

Вершина:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1,\qquad y_0=1-2-8=-9.$$

График симметричен относительно оси $$Oy.$$

3) $$y=x^2+8x\frac{x-3}{|x-3|}-9, \qquad x\ne 3.$$

Если $$x>3,$$ то $$\frac{x-3}{|x-3|}=1,$$ значит

$$y=x^2+8x-9.$$

Вершина:

$$x_0=-\frac{8}{2}=-4,\qquad y_0=16-32-9=-25.$$

Если $$x<3,$$ то $$\frac{x-3}{|x-3|}=-1,$$ значит

$$y=x^2-8x-9.$$

Вершина:

$$x_0=-\frac{-8}{2}=4,\qquad y_0=16-32-9=-25.$$

В точке $$x=3$$ функция не определена, поэтому на графике в этой точке ставится выколотая точка.

4) $$y=x^2+3|x-1|-x+3.$$

Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ и

$$y=x^2+3(x-1)-x+3=x^2+2x.$$

Вершина:

$$x_0=-\frac{2}{2}=-1,\qquad y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)=-1.$$

Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=-(x-1),$$ и

$$y=x^2-3(x-1)-x+3=x^2-4x+6.$$

Вершина:

$$x_0=-\frac{-4}{2}=2,\qquad y_0=2^2-4\cdot 2+6=2.$$

График состоит из двух частей парабол, соединяющихся в точке $$x=1.$$

Ответ

Графики функций строятся по полученным кусочным формулам:

1) $$y=\begin{cases}\frac14x^2-x-3,&x>0,\\-\frac14x^2+x+3,&x<0;\end{cases}$$

2) $$y=\begin{cases}x^2-2x-8,&x\ge 0,\\x^2+2x-8,&x<0;\end{cases}$$

3) $$y=\begin{cases}x^2+8x-9,&x>3,\\x^2-8x-9,&x<3;\end{cases}$$

4) $$y=\begin{cases}x^2+2x,&x\ge 1,\\x^2-4x+6,&x<1.\end{cases}$$