Упр.110 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Парабола $$y=ax^2+bx+c$$ имеет вершину в точке $$E(4; 3)$$ и проходит через точку $$F(2; 1)$$. Найдите значения коэффициентов $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}=4,$$

откуда

$$b=-8a.$$

Ордината вершины:

$$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}=3.$$

Подставим $$b=-8a$$:

$$\frac{4ac-(-8a)^2}{4a}=3,$$

$$\frac{4ac-64a^2}{4a}=3,$$

$$4ac-64a^2=12a,$$

$$c-16a=3,$$

$$c=3+16a.$$

Теперь используем точку $$F(2;1)$$:

$$1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c,$$

$$1=4a+2b+c.$$

Подставим $$b=-8a$$ и $$c=3+16a$$:

$$1=4a+2(-8a)+(3+16a),$$

$$1=4a-16a+3+16a,$$

$$1=4a+3,$$

$$4a=-2,$$

$$a=-\frac12.$$

Тогда

$$b=-8\cdot\left(-\frac12\right)=4,$$

$$c=3+16\cdot\left(-\frac12\right)=3-8=-5.$$

Ответ

$$a=-0{,}5,\quad b=4,\quad c=-5.$$