Упр.110 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Парабола $$y=ax^2+bx+c$$ имеет вершину в точке $$M(3;1)$$ и проходит через точку $$K(1;3)$$. Найдите значения коэффициентов $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Пусть дана функция $$y=ax^2+bx+c.$$

Так как вершина параболы находится в точке $$M(3;1),$$ то

$$x_0=-\frac{b}{2a}=3,$$

откуда

$$b=-6a.$$

Ордината вершины равна $$1,$$ значит

$$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}=1.$$

Подставим $$b=-6a$$:

$$\frac{4ac-(-6a)^2}{4a}=1,$$

$$\frac{4ac-36a^2}{4a}=1,$$

$$4ac-36a^2=4a,$$

$$c-9a=1,$$

$$c=1+9a.$$

Теперь используем точку $$K(1;3),$$ через которую проходит график:

$$3=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c,$$

$$3=a+b+c.$$

Подставим найденные выражения для $$b$$ и $$c$$:

$$3=a+(-6a)+(1+9a),$$

$$3=4a+1,$$

$$4a=2,$$

$$a=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$b=-6a=-6\cdot \frac{1}{2}=-3,$$

$$c=1+9a=1+9\cdot \frac{1}{2}=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}.$$

Ответ

$$a=\frac{1}{2},\quad b=-3,\quad c=\frac{11}{2}.$$