Упр.110 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Парабола $$y=ax^2+bx+c$$ имеет вершину в точке $$M(2;1)$$ и проходит через точку $$K(-1;5)$$. Найдите значения коэффициентов $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Пусть вершина параболы $$y=ax^2+bx+c$$ находится в точке $$M(2;1)$$.

Тогда абсцисса вершины равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}=2,$$

откуда

$$b=-4a.$$

Ордината вершины равна $$1$$, значит

$$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}=1.$$

Подставим $$b=-4a$$:

$$\frac{4ac-(-4a)^2}{4a}=1,$$

$$\frac{4ac-16a^2}{4a}=1,$$

$$4ac-16a^2=4a,$$

$$c-4a=1,$$

$$c=1+4a.$$

Теперь используем точку $$K(-1;5)$$, через которую проходит график:

$$5=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c.$$

Подставим $$b=-4a$$ и $$c=1+4a$$:

$$5=a-(-4a)+(1+4a),$$

$$5=a+4a+1+4a,$$

$$5=9a+1,$$

$$9a=4,$$

$$a=\frac{4}{9}.$$

Тогда

$$b=-4a=-4\cdot\frac{4}{9}=-\frac{16}{9},$$

$$c=1+4a=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}.$$

Ответ: $$a=\frac{4}{9},\ b=-\frac{16}{9},\ c=\frac{25}{9}.$$