Упр.107 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция $$y=(a-1)x^2+10x+1$$ принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $$x$$?

Рассмотрим функцию $$y=(a-1)x^2+10x+1.$$

Чтобы она принимала неотрицательные значения при всех действительных $$x,$$ парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox$$ ниже нуля. Значит, должны выполняться условия:

$$a-1>0,$$

$$D\le 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=10^2-4(a-1)\cdot 1=100-4a+4=104-4a.$$

Тогда

$$104-4a\le 0,$$

$$4a\ge 104,$$

$$a\ge 26.$$

Это условие уже удовлетворяет и неравенству $$a>1.$$ Следовательно, искомые значения параметра:

Ответ: $$a\in[26;+\infty).$$