Упр.107 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ функция $$y=(a-2)x^2+2x-7$$ принимает неположительные значения при всех действительных значениях $$x$$?

Рассмотрим функцию $$y=(a-2)x^2+2x-7.$$

Чтобы она принимала неположительные значения при всех действительных $$x,$$ парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось $$Ox$$ выше неё.

Найдём дискриминант:

$$D=2^2-4(a-2)(-7)=4+28a-56=28a-52.$$

Для того чтобы квадратный трёхчлен не имел положительных значений при всех $$x,$$ достаточно, чтобы:

• ветви параболы были направлены вниз: $$a-2<0,$$ то есть $$a<2;$$
• дискриминант был не больше нуля: $$28a-52\le 0.$$

Решим неравенство:

$$28a\le 52,$$

$$a\le \frac{13}{7}.$$

Совмещая условия $$a<2$$ и $$a\le \frac{13}{7},$$ получаем:

$$a\in\left(-\infty;\frac{13}{7}\right].$$

Ответ: $$a\in\left(-\infty;\frac{13}{7}\right].$$