Упр.106 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ функция $$y=(a+1)x^2-2x+3$$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $$x$$?

Рассмотрим функцию $$y=(a+1)x^2-2x+3.$$

Чтобы она принимала положительные значения при всех действительных значениях $$x$$, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox$$.

1) Ветви параболы направлены вверх, если

$$a+1>0,$$

то есть

$$a>-1.$$

2) Дискриминант квадратного трёхчлена должен быть отрицательным:

$$D=(-2)^2-4(a+1)\cdot 3=4-12a-12=-8-12a.$$

Тогда

$$D<0,$$

$$-8-12a<0,$$

$$-12a<8,$$

$$a>-\frac23.$$

3) При $$a=-1$$ функция становится линейной:

$$y=-2x+3,$$

а линейная функция не может быть положительной при всех $$x$$.

Следовательно, нужно учесть только условие

$$a>-\frac23.$$

Это условие автоматически обеспечивает и $$a>-1$$.

Ответ: $$a\in\left(-\frac23;+\infty\right).$$