Упр.106 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция $$y=(a-1)x^2+6x+20$$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $$x$$?

Чтобы функция $$y=(a-1)x^2+6x+20$$ принимала положительные значения при всех действительных $$x$$, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox$$.

Найдём условия:

$$a-1>0,$$

то есть

$$a>1.$$

Кроме того, дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=6^2-4(a-1)\cdot 20=36-80a+80=116-80a.$$

Тогда

$$116-80a<0,$$

$$80a>116,$$

$$a>\frac{29}{20}.$$

Условие $$a>\frac{29}{20}$$ уже включает $$a>1$$, значит, искомое множество значений параметра:

Ответ: $$a\in\left(\frac{29}{20};+\infty\right).$$