Упр.105 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция $$y=3x^2-12x+a$$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $$x$$?

Рассмотрим функцию $$y=3x^2-12x+a.$$

Чтобы она принимала положительные значения при всех действительных $$x,$$ парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox.$$

Коэффициент при $$x^2$$ положителен: $$3>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-12)^2-4\cdot 3\cdot a=144-12a.$$

Для того чтобы функция была положительной при всех $$x,$$ нужно, чтобы квадратное уравнение $$3x^2-12x+a=0$$ не имело действительных корней, то есть

$$D<0.$$

Тогда

$$144-12a<0,$$

$$144<12a,$$

$$a>12.$$

Ответ: $$a\in(12;+\infty).$$