Упр.105 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция $$y=4x^2+5x-a$$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $$x$$?

Рассмотрим функцию $$y=4x^2+5x-a.$$

Чтобы она принимала положительные значения при всех действительных $$x,$$ парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox.$$

Так как $$4>0,$$ ветви параболы направлены вверх. Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 4\cdot(-a)=25+16a.$$

Для того чтобы функция была положительной при всех $$x,$$ нужно, чтобы квадратное уравнение $$4x^2+5x-a=0$$ не имело действительных корней, то есть

$$D<0.$$

Тогда

$$25+16a<0,$$

$$16a<-25,$$

$$a<-\frac{25}{16}.$$

Следовательно, функция принимает положительные значения при всех действительных значениях $$x$$ при

Ответ: $$a\in\left(-\infty;-\frac{25}{16}\right).$$