Контрольная работа 1 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Контрольная работа № 1. Тема: «Неравенства»
- Докажите неравенство $$\left(x-4\right)\left(x+9\right)>\left(x+12\right)\left(x-7\right).$$
- Известно, что $$3
2) $$xy$$;
3) $$x-y$$. - Решите неравенство:
1) $$\frac{2}{7}x\geq -14$$;
2) $$3x-8<4\left(2x-3\right)$$. - Решите систему неравенств:
1) $$\begin{cases}6x-24>0,\\-2x+12<0;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}2x+7<19,\\30-8x<6.\end{cases}$$ - Найдите множество решений неравенства:
1) $$\frac{2x+3}{3}-\frac{x+1}{4}<-1$$;
2) $$5x+2<4\left(2x-1\right)-3x$$. - Найдите целые решения системы неравенств $$\begin{cases}2\left(3x-4\right)>4\left(x+1\right)-3,\\x\left(x-4\right)-\left(x+3\right)\left(x-5\right)>-5.\end{cases}$$
- При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\sqrt{3x-9}+\frac{1}{\sqrt{40-5x}}$$?
- Докажите неравенство $$10x^2-6xy+y^2-4x+6>0.$$
1) Рассмотрим разность левой и правой частей:
$$(x-4)(x+9)-(x+12)(x-7)=$$
$$= (x^2+5x-36)-(x^2+5x-84)=48>0.$$
Следовательно, $$(x-4)(x+9) > (x+12)(x-7).$$
2) При $$3<x<8$$ и $$2<y<6$$:
1. $$6<2x<16,$$ значит
$$8<2x+y<22.$$
2. Так как $$x>3$$ и $$y>2,$$ то
$$6<xy<48.$$
3. Из $$3<x<8$$ и $$2<y<6$$ получаем
$$-6<-y<-2,$$
$$-3<x-y<6.$$
3)
1. $$\frac{2}{7}x\ge -14,$$ тогда
$$x\ge -14\cdot \frac{7}{2}=-49.$$
2. $$3x-8<4(2x-3),$$
$$3x-8<8x-12,$$
$$5x>4,$$
$$x>\frac45.$$
4)
1. Решим систему:
$$\begin{cases} 6x-24>0,\\ -2x+12<0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x>4,\\ x>6 \end{cases}$$
Следовательно, $$x>6.$$
2. Решим систему:
$$\begin{cases} 2x+7<19,\\ 30-8x<6 \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2x<12,\\ -8x<-24 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x<6,\\ x>3 \end{cases}$$
Следовательно, $$x\in(3;6).$$
5)
1. $$\frac{2x+3}{3}-\frac{x+1}{4}<-1,$$ умножим на $$12$$:
$$4(2x+3)-3(x+1)<-12,$$
$$8x+12-3x-3<-12,$$
$$5x+9<-12,$$
$$5x<-21,$$
$$x<-\frac{21}{5}.$$
2. $$5x+2<4(2x-1)-3x,$$
$$5x+2<8x-4-3x,$$
$$5x+2<5x-4,$$
$$2<-4,$$
что неверно. Значит, решений нет.
6) Решим систему:
$$\begin{cases} 2(3x-4)\ge 4(x+1)-3,\\ x(x-4)-(x+3)(x-5)>-5 \end{cases}$$
1. Первое неравенство:
$$6x-8\ge 4x+1,$$
$$2x\ge 9,$$
$$x\ge \frac92.$$
2. Второе неравенство:
$$x^2-4x-(x^2-2x-15)>-5,$$
$$-2x+15>-5,$$
$$-2x>-20,$$
$$x<10.$$
Целые решения системы:
$$x=5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9.$$
7) Для выражения $$\sqrt{3x-9}+\frac{1}{\sqrt{40-5x}}$$ нужно, чтобы:
$$3x-9\ge 0,\qquad 40-5x>0.$$
Отсюда
$$x\ge 3,\qquad x<8.$$
Значит, $$x\in[3;8).$$
8)
Преобразуем левую часть:
$$10x^2-6xy+y^2-4x+6 = (3x-y)^2+(x-2)^2+2.$$
Так как $$(3x-y)^2\ge 0, \quad (x-2)^2\ge 0, \quad 2>0,$$ то
$$10x^2-6xy+y^2-4x+6>0.$$
Что и требовалось доказать.
