Вариант 4 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Для функции $$f(x)=\sqrt{3x-1}+\frac{1}{x^2-x-12}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:

$$3x-1\ge 0,\qquad x^2-x-12\ne 0.$$

Решаем:

$$3x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac13,$$

$$x^2-x-12=(x-4)(x+3)\ne 0 \Rightarrow x\ne 4,\; x\ne -3.$$

С учётом условия $$x\ge \frac13$$ число $$-3$$ не подходит, остаётся исключить только $$4$$.

Ответ: $$D(f)=\left[\frac13;4\right)\cup(4;+\infty).$$

2) Найдём область значений.

1) $$y=1-\frac{x^9}{x}=1-x^8,\qquad x\ne 0.$$

Так как $$x^8\ge 0,$$ то $$y\le 1.$$ Значение $$1$$ не достигается, потому что при $$x=0$$ функция не определена.

Ответ: $$E(y)=(-\infty;1).$$

2) $$y=\frac{x-6}{x^2}.$$

Преобразуем:

$$yx^2=x-6,$$

$$yx^2-x+6=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=1-24y\ge 0,$$

$$24y\le 1,\qquad y\le \frac1{24}.$$

Ответ: $$E(y)=(-\infty;\frac1{24}].$$

3) Даны $$f(x)=2x+3$$ и $$g(x)=x^2-4.$$

1) $$g(3x)=(3x)^2-4=9x^2-4.$$

Ответ: $$y=9x^2-4.$$

2) $$f(g(x))=2(x^2-4)+3=2x^2-8+3=2x^2-5.$$

Ответ: $$y=2x^2-5.$$

4) $$y=\frac{15-3x}{x^2-5x}.$$

Разложим на множители:

$$y=\frac{3(5-x)}{x(x-5)}=-\frac{3}{x}.$$

Но при этом нужно учесть ограничения исходной функции:

$$x(x-5)\ne 0,\qquad x\ne 0,\; x\ne 5.$$

Значит, график — это график функции $$y=-\frac{3}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=5$$, то есть точка $$\left(5;-\frac35\right)$$ не принадлежит графику.

Ответ: график функции $$y=-\frac{3}{x}$$, $$x\ne 0,\; x\ne 5.$$

5) Если $$D(f)=[-5;2],$$ то для функции $$y=f(x-3)$$ нужно, чтобы

$$-5\le x-3\le 2.$$

Прибавим к каждой части 3:

$$-2\le x\le 5.$$

Ответ: $$D=\left[-2;5\right].$$