Вариант 4 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   
   1) $$25x^2-10xy+2y^2\geq 0$$;
   
   2) $$c^2d^2+c^2+4d^2+16\geq 12cd$$;
   
   3) $$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+2)}<\frac{1}{2}$$, где $$n\in\mathbb{N}$$;
   4) $$9c^2+4d^2+1\geq 6cd-3c-2d$$.
2. Известно, что $$a\in[0;4]$$, $$b\in[0;4]$$, $$c\in[0;4]$$. Докажите неравенство:
   $$\frac{a}{8+b}+\frac{b}{8+c}+\frac{c}{8+a}\leq 1.$$

1) $$25x^2-10xy+2y^2=25x^2-10xy+y^2+y^2=(5x-y)^2+y^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство доказано.

2) $$c^2d^2+c^2+4d^2+16-12cd=c^2d^2-8cd+16+c^2+4d^2-4cd$$

$$=(cd-4)^2+(2d-c)^2\ge 0.$$

Значит, $$c^2d^2+c^2+4d^2+16\ge 12cd.$$

3) $$\frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 5}+\cdots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}<\frac12.$$

Заметим, что

$$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right).$$

Тогда

$$\frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 5}+\cdots+\frac1{(2n-1)(2n+1)} =\frac12\left(1-\frac13+\frac13-\frac15+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)$$

$$=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)<\frac12,$$

так как $$\frac1{2n+1}>0.$$

Неравенство доказано.

4) $$9c^2+4d^2+1\ge 6cd-3c-2d.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$9c^2-6cd+4d^2+3c+2d+1\ge 0.$$

Представим выражение в виде суммы квадратов:

$$9c^2-6cd+4d^2+3c+2d+1=(3c- d)^2+3d^2+3c+2d+1,$$

но удобнее сразу записать так:

$$9c^2+4d^2+1-6cd+3c+2d =(3c+1)^2+(3c-2d)^2+(2d+1)^2-2(3c+1)^2$$

или, что эквивалентно,

$$9c^2+4d^2+1-6cd+3c+2d =(3c+1)^2+(3c-2d)^2+(2d+1)^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство верно.

2) Пусть $$a,b,c\in[0;4].$$ Тогда

$$a+b\le 8,\qquad b+c\le 8,\qquad c+a\le 8.$$

Отсюда

$$\frac{a}{8+b}\le \frac{a}{a+b+c},\qquad \frac{b}{8+c}\le \frac{b}{a+b+c},\qquad \frac{c}{8+a}\le \frac{c}{a+b+c}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{a}{8+b}+\frac{b}{8+c}+\frac{c}{8+a} \le \frac{a+b+c}{a+b+c}=1.$$

Что и требовалось доказать.