Вариант 4 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Изобразите на координатной плоскости $$xy$$ множество решений системы неравенств
   $$\begin{cases} x^2+y^2>13,\\ xy?6. \end{cases}$$
2. Изобразите график неравенства:
   1. $$|x+3y|>3$$;
   2. $$\sqrt{x-2y+3}<\sqrt{x+3y}$$.
3. Изобразите на координатной плоскости $$xy$$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $$\min\{-3y,2\}=x-4$$.

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2>13,\\ xy\le 6. \end{cases}$$

Первое неравенство задаёт внешность окружности с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{13}$$, причём сама окружность не входит.

Второе неравенство равносильно условию

$$y\le \frac{6}{x}\quad \text{при } x>0,\qquad y\ge \frac{6}{x}\quad \text{при } x<0.$$

Искомое множество — пересечение этих областей.

2) 1) $$|x+3y|>3$$

Это равносильно системе двух неравенств:

$$x+3y<-3 \quad \text{или} \quad x+3y>3.$$

То есть

$$y<-\frac13x-1 \quad \text{или} \quad y>-\frac13x+1.$$

График — две полуплоскости вне полосы между прямыми $$x+3y=-3$$ и $$x+3y=3$$, сами прямые не входят.

2) $$\sqrt{x-2y+3}<\sqrt{x+3y}$$

Сначала найдём область определения:

$$x-2y+3\ge 0,\qquad x+3y\ge 0.$$

Так как функция корня возрастает, получаем

$$x-2y+3<x+3y.$$

Отсюда

$$-2y+3<3y,\qquad 5y>3,\qquad y>\frac35.$$

С учётом области определения искомая область задаётся условиями

$$\begin{cases} y>\frac35,\\ x-2y+3\ge 0,\\ x+3y\ge 0. \end{cases}$$

То есть это часть плоскости выше прямой $$y=\frac35$$, лежащая одновременно в полуплоскостях, заданных условиями области определения.

3) Рассмотрим уравнение

$$\min\{-3y,\,2\}=x-4.$$

Возможны два случая:

1. $$-3y\le 2$$, тогда $$\min\{-3y,2\}=-3y$$ и
   $$-3y=x-4,\qquad y=\frac43-\frac13x.$$
2. $$-3y>2$$, тогда $$\min\{-3y,2\}=2$$ и
   $$2=x-4,\qquad x=6.$$

Следовательно, множество решений — объединение прямой

$$y=\frac43-\frac13x$$

при $$y\ge -\frac23$$ и вертикального луча

$$x=6,\qquad y<-\frac23.$$

Ответ

1) Внешность окружности $$x^2+y^2=13$$, пересечённая с областью $$xy\le 6$$.

2) 1) $$x+3y<-3$$ или $$x+3y>3$$; 2) $$y>\frac35$$ при условиях $$x-2y+3\ge 0$$ и $$x+3y\ge 0$$.

3) $$\min\{-3y,2\}=x-4$$ задаёт прямую $$y=\frac43-\frac13x$$ при $$y\ge -\frac23$$ и луч $$x=6,\ y<-\frac23$$.