Вариант 4 Самостоятельная работа 15 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 15. Неравенства с двумя переменными

Постройте график неравенства:

1. $$y?-x^2+x+6$$;
2. $$xy>8$$;
3. $$(3x-y-2)(x+y-4)<0$$;
4. $$\frac{y-\frac{1}{2}x^2}{|y-2|}<0$$.

1. $$y\le -x^2+x+6.$$

   Это парабола, ветви направлены вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12,$$

   $$y_0=-\left(\frac12\right)^2+\frac12+6=\frac{25}{4}=6{,}25.$$

   Граница — парабола $$y=-x^2+x+6$$, её нужно провести сплошной линией, а заштриховать область ниже неё.

2. $$xy>8.$$

   Рассмотрим знаки $$x$$:

   • если $$x>0$$, то $$y>\frac{8}{x};$$
   • если $$x<0$$, то $$y<\frac{8}{x}.$$

   Граница — гипербола $$xy=8$$, она не входит в решение, поэтому проводится пунктиром. Подходит область выше ветви в I четверти и ниже ветви в III четверти.

3. $$\left(3x-y-2\right)\left(x+y-4\right)<0.$$

   Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

   • $$3x-y-2>0,\quad x+y-4>0;$$
   • $$3x-y-2<0,\quad x+y-4<0.$$

   То есть

   $$\begin{cases} y<3x-2,\\ y>4-x \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y>3x-2,\\ y<4-x \end{cases}$$

   Ответ — объединение двух областей между прямыми $$y=3x-2$$ и $$y=4-x$$ без самих прямых.

4. $$\frac{y-\frac12 x^2}{|y-2|}<0.$$

   Так как $$|y-2|>0$$ при $$y\ne 2$$, знак дроби определяется числителем. Поэтому

   $$y-\frac12 x^2<0,\qquad y\ne 2.$$

   Получаем систему условий:

   $$\begin{cases} y<\frac12 x^2,\\ y\ne 2. \end{cases}$$

   Значит, нужно взять область ниже параболы $$y=\frac12 x^2$$, исключив прямую $$y=2$$.