Вариант 4 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Пусть $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда $$t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3},$$ откуда

$$3t^2-10t+3=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$t_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad t_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

1. Если $$\frac{x}{y}=\frac13,$$ то $$y=3x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$3x-2\cdot 3x=7,$$

$$-3x=7,\qquad x=-\frac73,\qquad y=-7.$$

2. Если $$\frac{x}{y}=3,$$ то $$x=3y.$$ Подставим:

$$3\cdot 3y-2y=7,$$

$$7y=7,\qquad y=1,\qquad x=3.$$

Ответ: $$\left(-\frac73;\,-7\right),\ (3;\,1).$$

2) Обозначим $$u=x^2,\quad v=y^2.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} \sqrt{u+8}+\sqrt{v-8}=6,\\ u+v=20. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$v=20-u.$$ Подставим в первое:

$$\sqrt{u+8}+\sqrt{12-u}=6.$$

Возведём в квадрат:

$$u+8+12-u+2\sqrt{(u+8)(12-u)}=36,$$

$$2\sqrt{(u+8)(12-u)}=16,$$

$$\sqrt{(u+8)(12-u)}=8.$$

Тогда

$$(u+8)(12-u)=64,$$

$$-u^2+4u+96=64,$$

$$u^2-4u-32=0.$$

$$D=16+128=144,$$

$$u_1=\frac{4-12}{2}=-4,\qquad u_2=\frac{4+12}{2}=8.$$

Так как $$u=x^2\ge 0,$$ значение $$u=-4$$ не подходит. Значит, $$x^2=8,$$ откуда

$$x=\pm 2\sqrt2.$$

Тогда

$$y^2=20-8=12,\qquad y=\pm 2\sqrt3.$$

Ответ: $$(-2\sqrt2;\,-2\sqrt3),\ (-2\sqrt2;\,2\sqrt3),\ (2\sqrt2;\,-2\sqrt3),\ (2\sqrt2;\,2\sqrt3).$$

3) Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $$x$$:

$$x^2-xy-20y^2=0.$$

Тогда

$$D=y^2+80y^2=81y^2,$$

$$x=\frac{y\pm 9y}{2}.$$

Получаем два случая:

1. $$x=-4y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$(-4y)^2+2(-4y)y-3y^2=32,$$

$$16y^2-8y^2-3y^2=32,$$

$$5y^2=32,\qquad y^2=\frac{32}{5}.$$

Тогда

$$y=\pm \frac{4\sqrt{10}}{5},\qquad x=\mp \frac{16\sqrt{10}}{5}.$$

2. $$x=5y.$$ Подставим:

$$25y^2+10y^2-3y^2=32,$$

$$32y^2=32,\qquad y^2=1.$$

Тогда

$$y=\pm 1,\qquad x=\pm 5.$$

Ответ: $$(-5;\,-1),\ (5;\,1),\ \left(-\frac{16\sqrt{10}}{5};\,\frac{4\sqrt{10}}{5}\right),\ \left(\frac{16\sqrt{10}}{5};\,-\frac{4\sqrt{10}}{5}\right).$$

4) Введём замену:

$$u=x-y,\qquad t=xy.$$

Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} u-t=17,\\ ut=-70. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=t+17.$$ Подставим во второе:

$$t(t+17)=-70,$$

$$t^2+17t+70=0.$$

$$D=17^2-4\cdot 70=9,$$

$$t_1=\frac{-17-3}{2}=-10,\qquad t_2=\frac{-17+3}{2}=-7.$$

1. Если $$t=-10,$$ то $$u=7.$$ Получаем систему

$$\begin{cases} x-y=7,\\ xy=-10. \end{cases}$$

Пусть $$y=x-7.$$ Тогда

$$x(x-7)=-10,$$

$$x^2-7x+10=0,$$

$$x=2 \text{ или } x=5.$$

Тогда

$$y=-5 \text{ или } y=-2.$$

Получаем пары $$(2;\,-5)$$ и $$(5;\,-2).$$

2. Если $$t=-7,$$ то $$u=10.$$ Получаем систему

$$\begin{cases} x-y=10,\\ xy=-7. \end{cases}$$

Пусть $$y=x-10.$$ Тогда

$$x(x-10)=-7,$$

$$x^2-10x+7=0,$$

$$D=100-28=72,$$

$$x=\frac{10\pm \sqrt{72}}{2}=5\pm 3\sqrt2.$$

Тогда

$$y=x-10=-5\pm 3\sqrt2.$$

Ответ: $$(2;\,-5),\ (5;\,-2),\ (5-3\sqrt2;\,-5-3\sqrt2),\ (5+3\sqrt2;\,-5+3\sqrt2).$$