Вариант 4 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 13. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения
Решите системы уравнений:
- 1) $$\begin{cases} y+4x=6, \\ x^2+3xy-y^2=3; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} (x-2)(y-4)=0, \\ x^2+y^2-xy=12; \end{cases}$$
3) $$\begin{cases} x^2+7xy=-6, \\ 9y^2-xy=10; \end{cases}$$
4) $$\begin{cases} x^3y^3-x^2y^4=-54, \\ x^4y^2-x^3y^3=-18. \end{cases}$$
1) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=6-4x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+3x(6-4x)-(6-4x)^2=3,$$
$$x^2+18x-12x^2-36+48x-16x^2=3,$$
$$27x^2-66x+39=0,$$
$$9x^2-22x+13=0.$$
Найдём корни:
$$D=22^2-4\cdot 9\cdot 13=484-468=16,$$
$$x_1=\frac{22-4}{2\cdot 9}=1,\qquad x_2=\frac{22+4}{2\cdot 9}=\frac{13}{9}.$$
Тогда
$$y_1=6-4\cdot 1=2,\qquad y_2=6-4\cdot \frac{13}{9}=\frac{2}{9}.$$
Ответ: $$(1;2),\ \left(\frac{13}{9};\frac{2}{9}\right).$$
2) Из первого уравнения:
$$(x-2)(y-4)=0,$$
значит, либо $$x=2,$$ либо $$y=4.$$
1-й случай: $$x=2.$$ Тогда
$$4+y^2-2y=12,$$
$$y^2-2y-8=0,$$
$$D=4+32=36,$$
$$y_1=\frac{2-6}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{2+6}{2}=4.$$
Получаем точки $$(2;-2)$$ и $$(2;4).$$
2-й случай: $$y=4.$$ Тогда
$$x^2+16-4x=12,$$
$$x^2-4x+4=0,$$
$$\left(x-2\right)^2=0,$$
$$x=2.$$
Эта точка уже найдена.
Ответ: $$(2;-2),\ (2;4).$$
3) Сложим уравнения:
$$x^2+7xy+9y^2-xy=4,$$
$$x^2+6xy+9y^2=4,$$
$$\left(x+3y\right)^2=4,$$
$$x+3y=\pm 2.$$
1-й случай: $$x+3y=2,$$ то есть $$x=2-3y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$9y^2-y(2-3y)=10,$$
$$12y^2-2y-10=0,$$
$$6y^2-y-5=0.$$
$$D=1+120=121,$$
$$y_1=\frac{1-11}{12}=-\frac{5}{6},\qquad y_2=\frac{1+11}{12}=1.$$
Тогда
$$x_1=2-3\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{9}{2},\qquad x_2=2-3\cdot 1=-1.$$
Получаем точки $$\left(\frac{9}{2};-\frac{5}{6}\right)$$ и $$(-1;1).$$
2-й случай: $$x+3y=-2,$$ то есть $$x=-2-3y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$9y^2-y(-2-3y)=10,$$
$$12y^2+2y-10=0,$$
$$6y^2+y-5=0.$$
$$D=1+120=121,$$
$$y_3=\frac{-1-11}{12}=-1,\qquad y_4=\frac{-1+11}{12}=\frac{5}{6}.$$
Тогда
$$x_3=-2-3(-1)=1,\qquad x_4=-2-3\cdot \frac{5}{6}=-\frac{9}{2}.$$
Получаем точки $$(1;-1)$$ и $$\left(-\frac{9}{2};\frac{5}{6}\right).$$
Ответ: $$\left(\frac{9}{2};-\frac{5}{6}\right),\ (-1;1),\ (1;-1),\ \left(-\frac{9}{2};\frac{5}{6}\right).$$
4) Вынесем общий множитель:
$$x^3y^3-x^2y^4=x^2y^3(x-y)=-54,$$
$$x^4y^2-x^3y^3=x^3y^2(x-y)=-18.$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{x^2y^3(x-y)}{x^3y^2(x-y)}=\frac{-54}{-18},$$
$$\frac{y}{x}=3,$$
то есть $$y=3x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2(3x)^3(x-3x)=-54,$$
$$27x^5(-2x)=-54,$$
$$-54x^6=-54,$$
$$x^6=1.$$
Так как $$y=3x,$$ получаем:
$$x=1,\ y=3;\qquad x=-1,\ y=-3.$$
Ответ: $$(-1;-3),\ (1;3).$$
