Вариант 4 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите графически систему уравнений $$\begin{cases}x^2+y^2=10,\\xy=3.\end{cases}$$
2. Определите графически количество решений системы уравнений $$\begin{cases}|y|=-x,\\y=x^2+4x-1.\end{cases}$$
3. Сколько решений имеет система уравнений $$\begin{cases}ax+5y=20-a,\\20x+ay=20\end{cases}$$ в зависимости от значения параметра $$a$$?

1) Из первого уравнения получаем окружность с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{10}$$, то есть $$x^2+y^2=10.$$

Из второго уравнения:

$$xy=3 \;\Rightarrow\; y=\frac{3}{x}.$$

Точки пересечения графиков удовлетворяют системе. Подставим найденные пары:

$$\begin{aligned} (1;3),\quad (3;1),\quad (-1;-3),\quad (-3;-1). \end{aligned}$$

2) Из первого уравнения:

$$|y|=-x \;\Rightarrow\; x=-|y|.$$

Это две прямые:

$$y=x \quad \text{и} \quad y=-x,$$

но только при $$x\le 0.$$

Второе уравнение задаёт параболу:

$$y=x^2+4x-1.$$

Её вершина:

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,\qquad y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)-1=-5.$$

По графику парабола пересекает обе ветви графика $$|y|=-x$$ в двух точках, значит система имеет 2 решения.

3) Преобразуем уравнения к виду прямых:

$$ax+5y=20-a \;\Rightarrow\; y=-\frac{a}{5}x+4-\frac{a}{5},$$

$$20x+ay=20 \;\Rightarrow\; y=-\frac{20}{a}x+\frac{20}{a}\qquad (a\ne 0).$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$a=0,$$ то система имеет вид
   $$\begin{cases} 5y=20,\\ 20x=20, \end{cases}$$
   откуда $$x=1,\; y=4.$$ Значит, решение одно.
2. Если $$a\ne 0,$$ то сравним угловые коэффициенты:
   $$-\frac{a}{5}=-\frac{20}{a}\;\Rightarrow\; a^2=100 \;\Rightarrow\; a=\pm 10.$$
   • При $$a=10$$ прямые совпадают, поэтому решений бесконечно много.
   • При $$a=-10$$ свободные члены различны, значит прямые параллельны и решений нет.
   • При $$a\ne \pm 10$$ прямые пересекаются в одной точке, значит решение одно.

Ответ: 1) $$(-3;-1),\;(-1;-3),\;(1;3),\;(3;1)$$; 2) 2 решения; 3) при $$a=10$$ — бесконечно много решений, при $$a=-10$$ — решений нет, при всех остальных значениях $$a$$ — одно решение.