Вариант 4 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
1) $$(x+12)(x-4)(x-20)>0;$$
2) $$(4x-5)^9(x+1)(11-x)^6>0;$$
3) $$\frac{8x}{x^2-6x+5}+\frac{2}{x-1}? \frac{4}{x-5};$$
4) $$(x^2-81)v(x^2-49)?0.$$
Найдите множество решений неравенства $$|x-a|(2x^2+x-3)?0$$ в зависимости от значения параметра $$a$$.

Подробный ответ

1) $$(x+12)(x-4)(x-20)>0$$

Нули произведения: $$x=-12,\; x=4,\; x=20.$$

Знаки на промежутках меняются при каждом простом корне, поэтому

$$(x+12)(x-4)(x-20)>0$$

при $$x\in(-12;4)\cup(20;+\infty).$$

2) $$(4x-5)^9(x+1)(11-x)^6>0$$

Так как $$(11-x)^6\ge 0$$ и при $$x=11$$ выражение равно нулю, то для строгого неравенства нужно $$x\ne 11.$$

Кроме того, степень $$9$$ нечётная, значит знак множителя $$(4x-5)^9$$ совпадает со знаком $$4x-5.$$ Тогда достаточно решить

$$(4x-5)(x+1)>0,\qquad x\ne 11.$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac54, \qquad x\ne 11.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac54;11\right)\cup(11;+\infty).$$

3) $$\frac{8x}{x^2-6x+5}+\frac{2}{x-1}\ge \frac{4}{x-5}$$

Разложим знаменатель:

$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5).$$

Тогда

$$\frac{8x}{(x-1)(x-5)}+\frac{2}{x-1}-\frac{4}{x-5}\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{8x+2(x-5)-4(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0,$$

$$\frac{6x-6}{(x-1)(x-5)}\ge 0,$$

$$\frac{6(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0.$$

При $$x\ne 1,\; x\ne 5$$ получаем

$$\frac{6}{x-5}\ge 0.$$

Так как $$6>0,$$ то

$$x>5.$$

Ответ: $$x\in(5;+\infty).$$

4) $$(x^2-81)\sqrt{x^2-49}\ge 0$$

Область определения:

$$x^2-49\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -7 \;\text{или}\; x\ge 7.$$

Разложим первый множитель:

$$x^2-81=(x-9)(x+9).$$

На области определения корень $$\sqrt{x^2-49}\ge 0,$$ поэтому знак произведения определяется множителем $$x^2-81,$$ а также нужно учесть точки, где произведение равно нулю:

$$x=\pm 9,\qquad x=\pm 7.$$

Решение:

$$x\in(-\infty;-9]\cup\{-7,7\}\cup[9;+\infty).$$