Вариант 4 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$x^2-4x-96>0$$;
2) $$-4x^2+3x-5>0$$;
3) $$49x^2+14x+1>0$$. - Найдите область определения функции $$y=\frac{5x-4}{\sqrt{x^2+x-42}}+\sqrt{40-5x}$$.
- Решите неравенство $$\left|x^2-10\right|>x+10$$.
- При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$ax^2-2ax+a-9>0$$ не имеет решений?
1) $$x^2-4x-96>0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-96)=16+384=400,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 20}{2},\quad x_1=-8,\; x_2=12.$$
Тогда
$$x^2-4x-96=(x+8)(x-12).$$
Произведение положительно вне корней:
$$x\in(-\infty;-8)\cup(12;+\infty).$$
2) $$-4x^2+3x-5>0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:
$$4x^2-3x+5<0.$$
Рассмотрим дискриминант:
$$D=(-3)^2-4\cdot 4\cdot 5=9-80=-71<0.$$
Так как старший коэффициент положительный, то $$4x^2-3x+5>0$$ при всех $$x$$, значит неравенство $$4x^2-3x+5<0$$ решений не имеет.
Следовательно, решений нет.
3) $$49x^2+14x+1>0$$
Заметим, что
$$49x^2+14x+1=(7x+1)^2.$$
Тогда
$$(7x+1)^2>0$$
при всех $$x$$, кроме тех, при которых квадрат равен нулю:
$$7x+1=0,\quad x=-\frac17.$$
Значит,
$$x\in\left(-\infty;-\frac17\right)\cup\left(-\frac17;+\infty\right).$$
2. Найдём область определения функции
$$y=\frac{5x-4}{\sqrt{x^2+x-42}}+\sqrt{40-5x}.$$
Подкоренные выражения должны удовлетворять условиям:
$$x^2+x-42>0,$$
$$40-5x\ge 0.$$
Решим первое неравенство:
$$x^2+x-42=(x+7)(x-6)>0,$$
откуда
$$x\in(-\infty;-7)\cup(6;+\infty).$$
Второе неравенство даёт:
$$x\le 8.$$
Пересечение условий:
$$x\in(-\infty;-7)\cup(6;8].$$
3. Решите неравенство $$|x^2-10|>x+10.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2-10\ge 0.$$ Тогда $$|x^2-10|=x^2-10$$, и получаем:
$$x^2-10>x+10,$$
$$x^2-x-20>0,$$
$$(x+4)(x-5)>0,$$
откуда
$$x\in(-\infty;-4)\cup(5;+\infty).$$
С учётом условия $$x^2-10\ge 0$$ остаётся:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(5;+\infty).$$
2) $$x^2-10<0.$$ Тогда $$|x^2-10|=10-x^2$$, и получаем:
$$10-x^2>x+10,$$
$$-x^2-x>0,$$
$$x(x+1)<0,$$
откуда
$$-1<x<0.$$
Объединяя результаты, получаем:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(5;+\infty).$$
4. При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$ax^2-2ax+a-9>0$$ не имеет решений?
Чтобы неравенство не имело решений, квадратный трёхчлен должен быть не положительным при всех $$x$$. Рассмотрим коэффициент при $$x^2$$:
$$a.$$
Если $$a>0$$, то при больших по модулю $$x$$ выражение становится положительным, значит решения есть. Если $$a=0$$, получаем
$$-9>0,$$
что неверно, решений нет. Если $$a<0$$, парабола направлена вниз, и при некоторых $$x$$ выражение будет положительным только если есть действительные корни; чтобы решений не было, достаточно, чтобы максимум был не больше нуля. Проверим дискриминант:
$$D=(-2a)^2-4a(a-9)=4a^2-4a^2+36a=36a.$$
Для отсутствия решений при $$a<0$$ нужно, чтобы дискриминант был неположительным, а это выполняется автоматически:
$$36a\le 0 \quad \Rightarrow \quad a\le 0.$$
Следовательно, неравенство не имеет решений при
$$a\in(-\infty;0].$$
Ответ
1) $$(-\infty;-8)\cup(12;+\infty)$$; 2) решений нет; 3) $$\left(-\infty;-\frac17\right)\cup\left(-\frac17;+\infty\right)$$; 2) $$(-\infty;-7)\cup(6;8]$$; 3) $$(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(5;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;0]$$.
