Вариант 4 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:

1) $$y=\left|\sqrt{x}-6\right|$$;

2) $$y=\sqrt{\lvert x\rvert-6}$$;

3) $$y=\sqrt{\lvert x-6\rvert}$$;

4) $$y=\sqrt{\lvert x-6\rvert-6}$$.
Функция $$f$$ такова, что $$D(f)=[-4;2)$$ и $$E(f)=[8;2)$$. Найдите область определения и область значений функции $$\left|f\left(\lvert x\rvert\right)\right|$$.
При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\left|3\lvert x\rvert-2\right|=a-x$$ имеет три корня?

Подробный ответ

1) Построим графики, используя преобразования графика функции $$y=\sqrt{x}$$.

1) $$y=\left|\sqrt{x}-6\right|$$

График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем вниз на $$6$$ единиц и затем отражаем часть, лежащую ниже оси $$Ox$$, относительно этой оси.

2) $$y=\sqrt{|x|-6}$$

Сначала строим график $$y=\sqrt{x-6}$$, а затем получаем его отражением относительно оси $$Oy$$.

3) $$y=\sqrt{|x-6|}$$

График $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем вправо на $$6$$ единиц и отражаем левую часть относительно прямой $$x=6$$.

4) $$y=\sqrt{|x-6|-6}$$

Сначала строим график $$y=\sqrt{|x-6|}$$, затем сдвигаем его вниз на $$6$$ единиц подкоренного выражения и получаем две симметричные ветви.

2. Так как $$D(f)=[-4;2)$$, то для функции $$f(|x|)$$ должно выполняться

$$-4\le |x|<2.$$

Но $$|x|\ge 0$$, значит остаётся

$$|x|<2,$$

откуда

$$-2<x<2.$$

Следовательно,

$$D\bigl(f(|x|)\bigr)=(-2;2).$$

Так как $$E(f)=[8;2)$$, то такое множество значений невозможно, значит в условии допущена опечатка. Для функции $$|f(|x|)|$$ область значений по данному условию определить нельзя.

3. Решим уравнение

$$|3|x|-2|=a-x.$$

Рассмотрим графики функций $$y=|3|x|-2|$$ и $$y=a-x$$. Чтобы уравнение имело ровно три корня, прямая $$y=a-x$$ должна проходить через вершину графика $$y=|3|x|-2|$$ и пересекать его ещё в двух точках.

Вершины графика $$y=|3|x|-2|$$ находятся в точках $$\left(-\frac23,0\right)$$ и $$\left(\frac23,0\right)$$, а значение в точке $$x=0$$ равно $$2$$. Поэтому ровно три корня получаются при

$$a=2 \quad \text{или} \quad a=\frac23.$$