Вариант 4 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Каковы координаты вершины параболы: 1) $$y=x^2-9$$; 2) $$y=(x+6)^2$$; 3) $$y=(x-5)^2-7$$?
2. Постройте график функции $$y=\sqrt{x}$$. Используя этот график, постройте график функции: 1) $$y=\sqrt{x}-3$$; 2) $$y=4+\sqrt{x-2}$$.
3. Постройте график функции $$y=\frac{4x}{x+3}$$.
4. Сколько корней имеет уравнение $$|x-2|=a-x^2$$ в зависимости от значения параметра $$a$$?

1) Для параболы $$y=x^2-9$$ вершина имеет координаты $$\left(0;\,-9\right).$$

2) Для параболы $$y=(x+6)^2$$ вершина имеет координаты $$\left(-6;\,0\right).$$

3) Для параболы $$y=(x-5)^2-7$$ вершина имеет координаты $$\left(5;\,-7\right).$$

Ответ

1) $$\left(0;\,-9\right)$$
2) $$\left(-6;\,0\right)$$
3) $$\left(5;\,-7\right)$$

2) График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем:

• в пункте 1) на $$3$$ единицы вниз, получаем $$y=\sqrt{x}-3$$;
• в пункте 2) на $$2$$ единицы вправо и на $$4$$ единицы вверх, получаем $$y=4+\sqrt{x-2}$$.

Для построения достаточно перенести характерные точки графика $$y=\sqrt{x}$$.

3) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{4x}{x+3}=\frac{4x+12-12}{x+3}=4-\frac{12}{x+3}.$$

Это гипербола с асимптотами $$x=-3$$ и $$y=4$$.

4) Рассмотрим уравнение по частям.

Если $$x\ge 2$$, то $$|x-2|=x-2$$, и получаем:

$$x-2=a-x^2 \;\Rightarrow\; x^2+x-(a+2)=0.$$

Если $$x<2$$, то $$|x-2|=2-x$$, и получаем:

$$2-x=a-x^2 \;\Rightarrow\; x^2-x+(2-a)=0.$$

Число корней зависит от параметра $$a$$. В результате:

• при $$a<\frac{7}{4}$$ корней нет;
• при $$a=\frac{7}{4}$$ один корень;
• при $$a>\frac{7}{4}$$ два корня.

Ответ

1) $$\left(0;\,-9\right),\ \left(-6;\,0\right),\ \left(5;\,-7\right)$$
2) $$y=\sqrt{x}-3,\quad y=4+\sqrt{x-2}$$
3) $$y=4-\dfrac{12}{x+3},\ x\ne -3$$
4) при $$a<\dfrac{7}{4}$$ корней нет; при $$a=\dfrac{7}{4}$$ один корень; при $$a>\dfrac{7}{4}$$ два корня.