Вариант 4 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Постройте график уравнения:
- $$x^2+y^2+6x+10y+34=0$$;
- $$x^2-16y^2=0$$;
- $$\lvert y+2\rvert=vx$$;
- $$\frac{x^2+y^2-9}{y^2-4}=0$$.
- Решите уравнение $$\left(x^2-2x+5\right)\left(y^2+6y+11\right)=8$$.
1) $$x^2+y^2+6x+10y+34=0$$
$$x^2+6x+9+y^2+10y+25=0$$
$$\left(x+3\right)^2+\left(y+5\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x+3=0,\quad y+5=0$$
$$x=-3,\quad y=-5$$
График — одна точка $$(-3;\,-5)$$.
2) $$x^2-16y^2=0$$
$$x^2=16y^2$$
$$|x|=4|y|$$
Отсюда получаем две прямые:
$$x=4y \quad \text{и} \quad x=-4y$$
или
$$y=\frac{x}{4} \quad \text{и} \quad y=-\frac{x}{4}$$
3) $$|y+2|=\sqrt{x}$$
Так как справа стоит корень, то $$x\ge 0$$.
Рассмотрим два случая:
$$y+2=\sqrt{x}\quad \Rightarrow \quad y=\sqrt{x}-2$$
$$y+2=-\sqrt{x}\quad \Rightarrow \quad y=-\sqrt{x}-2$$
График состоит из двух ветвей:
$$y=\sqrt{x}-2 \quad \text{и} \quad y=-\sqrt{x}-2,\quad x\ge 0$$
4) $$\frac{x^2+y^2-9}{y^2-4}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2+y^2-9=0,\quad y^2-4\ne 0$$
$$x^2+y^2=9,\quad y\ne \pm 2$$
Это окружность радиуса $$3$$ с центром в начале координат, но точки с ординатами $$y=2$$ и $$y=-2$$ не входят в график.
2. $$\left(x^2-2x+5\right)\left(y^2+6y+11\right)=8$$
Преобразуем выражения в скобках:
$$x^2-2x+5=\left(x-1\right)^2+4\ge 4$$
$$y^2+6y+11=\left(y+3\right)^2+2\ge 2$$
Тогда
$$\left(x^2-2x+5\right)\left(y^2+6y+11\right)\ge 4\cdot 2=8$$
Равенство возможно только при
$$\left(x-1\right)^2=0,\quad \left(y+3\right)^2=0$$
$$x=1,\quad y=-3$$
Ответ: 1) $$(-3;\,-5)$$; 2) $$y=\frac{x}{4}$$ и $$y=-\frac{x}{4}$$; 3) $$y=\sqrt{x}-2$$ и $$y=-\sqrt{x}-2,\ x\ge 0$$; 4) $$x^2+y^2=9,\ y\ne \pm 2$$; 2) $$\left(1;\,-3\right)$$.
