Вариант 4 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Самостоятельная работа № 35. Суммирование

Найдите сумму $$\frac{5}{6}+\frac{71}{36}+\frac{647}{216}+\ldots+\frac{6^n\cdot n-1}{6^n}$$.
Найдите сумму $$\left(4-\frac{1}{4}\right)^2+\left(4^2-\frac{1}{4^2}\right)^2+\left(4^3-\frac{1}{4^3}\right)^2+\ldots+\left(4^n-\frac{1}{4^n}\right)^2$$.
Найдите сумму $$\frac{1}{3\cdot8}+\frac{1}{8\cdot13}+\frac{1}{13\cdot18}+\ldots+\frac{1}{(5n-2)(5n+3)}$$.

Подробный ответ

1) Представим каждый член суммы в удобном виде:

$$\frac56+\frac{71}{36}+\frac{647}{216}+\cdots+\frac{6^n\cdot n-1}{6^n}=\left(1-\frac16\right)+\left(2-\frac1{6^2}\right)+\left(3-\frac1{6^3}\right)+\cdots+\left(n-\frac1{6^n}\right).$$

Тогда

$$S=\left(1+2+3+\cdots+n\right)-\left(\frac16+\frac1{6^2}+\frac1{6^3}+\cdots+\frac1{6^n}\right).$$

Используем формулы суммы арифметической и геометрической прогрессий:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},$$

$$\frac16+\frac1{6^2}+\cdots+\frac1{6^n}=\frac{\frac16\left(1-\left(\frac16\right)^n\right)}{1-\frac16}=\frac15\left(1-\frac1{6^n}\right).$$

Следовательно,

$$S=\frac{n(n+1)}{2}-\frac15+\frac{1}{5\cdot 6^n}.$$

2) Раскроем квадраты:

$$\left(4-\frac14\right)^2+\left(4^2-\frac1{4^2}\right)^2+\cdots+\left(4^n-\frac1{4^n}\right)^2$$

$$=\left(4^2-2+\frac1{4^2}\right)+\left(4^4-2+\frac1{4^4}\right)+\cdots+\left(4^{2n}-2+\frac1{4^{2n}}\right).$$

Тогда

$$S=\left(4^2+4^4+\cdots+4^{2n}\right)-2n+\left(\frac1{4^2}+\frac1{4^4}+\cdots+\frac1{4^{2n}}\right).$$

Суммы геометрических прогрессий:

$$4^2+4^4+\cdots+4^{2n}=16+16^2+\cdots+16^n=\frac{16(16^n-1)}{15},$$

$$\frac1{4^2}+\frac1{4^4}+\cdots+\frac1{4^{2n}}=\frac{\frac1{16}\left(1-\left(\frac1{16}\right)^n\right)}{1-\frac1{16}}=\frac1{15}\left(1-\frac1{16^n}\right).$$

Значит,

$$S=\frac{16(16^n-1)}{15}-2n+\frac1{15}\left(1-\frac1{16^n}\right)=\frac{16^{n+1}}{15}-\frac1{15\cdot 16^n}-2n-1.$$

3) Разложим каждый член на разность дробей:

$$\frac1{(3\cdot 8)}+\frac1{(8\cdot 13)}+\frac1{(13\cdot 18)}+\cdots+\frac1{(5n-2)(5n+3)}$$

$$=\frac15\left(\frac13-\frac18+\frac18-\frac1{13}+\frac1{13}-\frac1{18}+\cdots+\frac1{5n-2}-\frac1{5n+3}\right).$$

После сокращения получаем

$$S=\frac15\left(\frac13-\frac1{5n+3}\right)=\frac1{15}-\frac1{5(5n+3)}.$$