Вариант 4 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 1) $$-72, 24, -8, \ldots$$; 2) $$12, 6\sqrt{2}, 2, \ldots$$.
2. Запишите в виде обыкновенной дроби число: 1) $$0,333\ldots$$; 2) $$4,2(41)$$.
3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$, где $$|q|<1$$, сумма членов с нечётными номерами равна $$24$$, а сумма членов с чётными номерами равна $$-8$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1) Для бесконечной геометрической прогрессии $$-72,\ 24,\ -8,\ldots$$ имеем

$$q=\frac{24}{-72}=-\frac13.$$

Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-72}{1-(-\frac13)}=\frac{-72}{1+\frac13}=\frac{-72}{\frac43}=-54.$$

$$S=-54.$$

2) Для прогрессии $$12,\ 6\sqrt2,\ 2,\ldots$$

$$q=\frac{6\sqrt2}{12}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$S=\frac{12}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{24}{2-\sqrt2}=\frac{24(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}=12(2+\sqrt2).$$

$$S=12(2+\sqrt2).$$

3) Сумма членов с нечётными номерами равна $$24$$, а с чётными — $$-8$$. Для суммы чётных членов получаем:

$$S_{\text{чёт}}=S_{\text{нечёт}}\cdot q,$$

то есть

$$-8=24q,\qquad q=-\frac13.$$

Сумма всех членов прогрессии:

$$S=24+(-8)=16.$$

Сумма нечётных членов — это сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q^2$$:

$$24=\frac{b_1}{1-q^2}=\frac{b_1}{1-\frac19}=\frac{b_1}{\frac89}.$$

Отсюда

$$b_1=24\cdot \frac89=\frac{64}{3}=21\frac13.$$

Итак,

$$b_1=21\frac13,\qquad q=-\frac13.$$

Ответ

1) $$-54$$; 2) $$12(2+\sqrt2)$$; 3) $$b_1=21\frac13,\ q=-\frac13$$.