Вариант 4 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Геометрическая прогрессия $$(b_n)$$ задана формулой n-го члена $$b_n=18\cdot 3^{n-3}$$. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
- Сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии равна $$-99$$. Найдите $$n$$, если первый член прогрессии равен $$-9$$, а знаменатель прогрессии равен $$-2$$.
- Для любого натурального $$n$$ сумму $$n$$ первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $$S_n=2(6^n-1)$$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.
1) Найдём первые члены прогрессии:
$$b_1=18\cdot 3^{-2}=18\cdot \frac{1}{9}=2,$$
$$b_2=18\cdot 3^{-1}=18\cdot \frac{1}{3}=6.$$
Тогда знаменатель прогрессии
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{2}=3.$$
Сумма первых пяти членов:
$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=\frac{2(243-1)}{2}=242.$$
Ответ: $$242$$.
2) Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Подставим данные:
$$-99=\frac{-9\bigl((-2)^n-1\bigr)}{-2-1}.$$
Упростим:
$$-99=3\bigl((-2)^n-1\bigr),$$
$$(-2)^n-1=-33,$$
$$(-2)^n=-32.$$
Так как $$32=2^5$$ и знак должен быть отрицательным, получаем
$$n=5.$$
Ответ: $$5$$.
3) Найдём первые члены последовательности по формуле суммы:
$$S_n=2(6^n-1).$$
Тогда
$$S_1=2(6-1)=10,$$
$$S_2=2(36-1)=70.$$
Следовательно,
$$b_1=S_1=10,$$
$$b_2=S_2-S_1=70-10=60.$$
Найдём знаменатель:
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{60}{10}=6.$$
Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{10(6^n-1)}{6-1}=2(6^n-1).$$
Получили данную в условии формулу, значит последовательность является геометрической прогрессией.
Что и требовалось доказать.
