Вариант 4 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Между числами $$625$$ и $$81$$ вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
- Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_{12}=36b_{10}$$ и $$b_3+b_6=-252$$.
- Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна $$24$$. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно $$2$$ и $$3$$, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.
1. Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$625,\; b_2,\; b_3,\; b_4,\; 81.$$
Тогда $$b_5=b_1q^4,$$ значит
$$625q^4=81,$$
откуда
$$q^4=\frac{81}{625}, \qquad q=\pm\frac35.$$
Найдём вставленные числа:
$$b_2=625q=\pm375,$$
$$b_3=625q^2=225,$$
$$b_4=625q^3=\pm135.$$
Получаем две прогрессии:
$$625,\; 375,\; 225,\; 135,\; 81$$
и
$$625,\; -375,\; 225,\; -135,\; 81.$$
Ответ
$$625,\; 375,\; 225,\; 135,\; 81$$ или $$625,\; -375,\; 225,\; -135,\; 81.$$
Решение
2. Из условия $$b_{12}=36b_{10}$$ получаем:
$$b_1q^{11}=36b_1q^9.$$
Так как $$b_1\neq 0,$$ то
$$q^2=36,\qquad q=\pm 6.$$
Используем второе условие $$b_3+b_6=-252.$$ Тогда
$$b_1q^2+b_1q^5=-252.$$
Если $$q=6,$$ то
$$36b_1+7776b_1=-252,$$
$$7812b_1=-252,\qquad b_1=-\frac1{31}.$$
Если $$q=-6,$$ то
$$36b_1-7776b_1=-252,$$
$$-7740b_1=-252,\qquad b_1=\frac7{215}.$$
Ответ
$$b_1=-\frac1{31},\; q=6;\qquad b_1=\frac7{215},\; q=-6.$$
Решение
3. Пусть числа арифметической прогрессии равны $$a_1,\; a_2,\; a_3,$$ где $$a_2$$ — средний член. Тогда
$$a_1+a_2+a_3=24,$$
значит
$$3a_2=24,\qquad a_2=8.$$
Обозначим разность арифметической прогрессии через $$d$$. Тогда
$$a_1=8-d,\qquad a_3=8+d.$$
После изменений получаем числа
$$8-d,\; 6,\; 5+d.$$
Они образуют геометрическую прогрессию, значит
$$6^2=(8-d)(5+d).$$
Тогда
$$36=40+3d-d^2,$$
$$d^2-3d-4=0,$$
$$\left(d-4\right)\left(d+1\right)=0.$$
Следовательно, $$d=4$$ или $$d=-1.$$
1) Если $$d=4,$$ то
$$a_1=4,\qquad a_2=8,\qquad a_3=12.$$
2) Если $$d=-1,$$ то
$$a_1=9,\qquad a_2=8,\qquad a_3=7.$$
Ответ
$$4,\; 8,\; 12$$ или $$9,\; 8,\; 7.$$
