Вариант 4 Самостоятельная работа 31 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Арифметическая прогрессия $$(a_n)$$ задана формулой n-го члена: $$a_n=-4n+2$$. Найдите сумму двадцати пяти первых членов прогрессии.
2. Для любого натурального значения $$n$$ сумму $$n$$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $$S_n=2n^2+3n$$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
3. Четырнадцатый член арифметической прогрессии равен 18. Найдите сумму двадцати семи первых членов прогрессии.

1) Найдём первый и двадцать пятый члены прогрессии:

$$a_1=-4\cdot 1+2=-2,$$

$$a_{25}=-4\cdot 25+2=-98.$$

Тогда сумма первых $$25$$ членов равна

$$S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25=\frac{-2+(-98)}{2}\cdot 25=\frac{-100}{2}\cdot 25=-50\cdot 25=-1250.$$

2) По формуле суммы

$$S_n=2n^2+3n$$

находим первые суммы:

$$S_1=2\cdot 1^2+3\cdot 1=5,$$

$$S_2=2\cdot 2^2+3\cdot 2=14.$$

Тогда

$$a_1=S_1=5,$$

$$a_2=S_2-S_1=14-5=9,$$

$$d=a_2-a_1=9-5=4.$$

3) Используем формулу $$14$$-го члена:

$$a_{14}=a_1+13d=18.$$

Тогда

$$a_1+13d=18.$$

Сумма первых $$27$$ членов:

$$S_{27}=\frac{a_1+a_{27}}{2}\cdot 27=\frac{a_1+(a_1+26d)}{2}\cdot 27.$$

Так как $$a_1+13d=18$$, то

$$\frac{a_1+(a_1+26d)}{2}=a_1+13d=18,$$

значит

$$S_{27}=18\cdot 27=486.$$

Ответ: 1) $$-1250$$; 2) $$a_1=5$$, $$d=4$$; 3) $$486$$.