Вариант 4 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии $$-4{,}8; -4{,}4; -4; \ldots$$.
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_5+a_8=29$$ и $$a_7+a_{11}=44$$.
3. При каком значении $$a$$ значения выражений $$a^2+1$$, $$2a+3$$, $$3a-1$$ и $$a^2-2a+4$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

1) Для арифметической прогрессии $$-4{,}8;\,-4{,}4;\,-4;\ldots$$ имеем

$$a_1=-4{,}8,\quad d=-4{,}4-(-4{,}8)=0{,}4.$$

Ищем первый положительный член:

$$a_n=a_1+d(n-1)=-4{,}8+0{,}4(n-1)>0.$$

$$-4{,}8+0{,}4n-0{,}4>0$$

$$0{,}4n>5{,}2$$

$$n>13.$$

Значит, первый положительный член — это $$a_{14}$$.

2) Используем формулу $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда

$$a_5+a_8=(a_1+4d)+(a_1+7d)=2a_1+11d=29,$$

$$a_7+a_{11}=(a_1+6d)+(a_1+10d)=2a_1+16d=44.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$5d=15,\quad d=3.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+11\cdot 3=29,$$

$$2a_1= -4,$$

$$a_1=-2.$$

3) Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда для трёх подряд идущих членов средний равен полусумме крайних.

Для первых трёх выражений:

$$2a+3=\frac{(a^2+1)+(3a-1)}{2}.$$

$$4a+6=a^2+3a,$$

$$a^2-a-6=0,$$

$$(a-3)(a+2)=0,$$

$$a=3 \text{ или } a=-2.$$

Для последних трёх выражений:

$$3a-1=\frac{(2a+3)+(a^2-2a+4)}{2}.$$

$$6a-2=a^2+7,$$

$$a^2-6a+9=0,$$

$$(a-3)^2=0,$$

$$a=3.$$

Подходит только $$a=3.$$ Тогда члены прогрессии:

$$a^2+1=10,\quad 2a+3=9,\quad 3a-1=8,\quad a^2-2a+4=7.$$

Ответ: 1) $$a_{14}$$; 2) $$a_1=-2,\ d=3$$; 3) $$a=3,$$ $$10,\ 9,\ 8,\ 7.$$