Вариант 4 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Так как функция чётная, то $$f(-1)=f(1).$$ Тогда из условия $$f(1)\cdot f(-1)=-1$$ получаем

$$f(1)\cdot f(1)=-1,$$

то есть

$$\bigl(f(1)\bigr)^2=-1.$$

Это невозможно, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

2. Исследуем функции на чётность.

1. $$y=\frac{x^7-2x^6}{x-2}, \quad x\ne 2.$$

   Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

   Ответ: общего вида.

2. $$y=x^5+3x^2, \quad x\in \mathbb{R}.$$

   Найдём $$y(-x):$$

   $$y(-x)=(-x)^5+3(-x)^2=-x^5+3x^2.$$

   Так как $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x),$$ функция общего вида.

   Ответ: общего вида.

3. $$y=\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}.$$

   Область определения: $$3+x\ge 0,\; 3-x\ge 0,$$ то есть $$x\in[-3;3].$$

   Найдём $$y(-x):$$

   $$y(-x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

   Ответ: чётная.

3. Известно, что

$$\min_{[-6;-4]} f(x)=2,\qquad \max_{[-6;-4]} f(x)=7.$$

1. Если $$f$$ — чётная функция, то значения на отрезке $$[4;6]$$ такие же, как на отрезке $$[-6;-4].$$ Поэтому

   $$\min_{[4;6]} f(x)=2,\qquad \max_{[4;6]} f(x)=7.$$

2. Если $$f$$ — нечётная функция, то значения на отрезке $$[4;6]$$ получаются с противоположным знаком:

   $$\min_{[4;6]} f(x)=-7,\qquad \max_{[4;6]} f(x)=-2.$$

4. Рассмотрим уравнение

$$x^4-ax^2+a^2-2a-8=0.$$

Это чётное уравнение, поэтому если $$x_0$$ — корень, то и $$-x_0$$ — корень. Чтобы корней было три, один из них должен быть равен нулю.

Подставим $$x=0$$:

$$a^2-2a-8=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$

$$a_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=-2,\qquad a_2=4.$$

Проверим:

при $$a=-2$$

$$x^4+2x^2=0,$$

откуда $$x=0$$;

при $$a=4$$

$$x^4-4x^2=0,$$

$$x^2(x^2-4)=0,$$

$$x=0,\; x=\pm 2.$$

Итак, три корня получаются при $$a=4.$$

Ответ: 1) нет; 2) 1) общего вида, 2) общего вида, 3) чётная; 3) 1) $$\min=2,\ \max=7$$, 2) $$\min=-7,\ \max=-2$$; 4) $$4$$.