Вариант 4 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 29. Числовые последовательности
- Найдите три первых члена последовательности $$(a_n)$$, если $$a_1=4,\quad a_{n+1}=-2a_n+4$$.
- Последовательность $$(c_n)$$ задана формулой $$n$$-го члена $$c_n=3-8n$$. Является ли членом этой последовательности число: 1) 53; 2) 75? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
- Последовательность $$(a_n)$$ задана формулой $$n$$-го члена $$a_n=-n^2+3n-4$$. Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа $$-22$$.
- Найдите все такие значения $$a$$, при которых последовательность, заданная условиями $$x_1=a,\quad x_{n+1}=x_n^2-4x_n+4$$, является стационарной.
Найдём первые три члена последовательности:
$$a_1=4,$$
$$a_2=-2a_1+4=-2\cdot 4+4=-4,$$
$$a_3=-2a_2+4=-2\cdot(-4)+4=12.$$
Ответ: $$4;\,-4;\,12.$$
Проверим, является ли число членом последовательности $$c_n=3-8n.$$
1) Если $$c_n=53,$$ то
$$3-8n=53,$$
$$-8n=50,$$
$$n=-\frac{25}{4}.$$
Натурального номера нет, значит, число $$53$$ не является членом последовательности.
2) Если $$c_n=75,$$ то
$$3-8n=75,$$
$$-8n=72,$$
$$n=-9.$$
Натурального номера нет, значит, число $$75$$ не является членом последовательности.
Ответ: 1) нет; 2) нет.
Найдём, сколько членов последовательности $$a_n=-n^2+3n-4$$ больше числа $$-22$$:
$$-n^2+3n-4>-22,$$
$$-n^2+3n+18>0,$$
$$n^2-3n-18<0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$n^2-3n-18=0,$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-18)=9+72=81,$$
$$n_{1,2}=\frac{3\pm 9}{2},$$
откуда $$n_1=-3,$$ $$n_2=6.$$
Тогда
$$-3<n<6.$$
Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=1,2,3,4,5.$$
Таких членов $$5$$.
Ответ: 5.
Последовательность является стационарной, если $$x_{n+1}=x_n$$ для всех $$n.$$ Тогда
$$a=a^2-4a+4,$$
$$a^2-5a+4=0.$$
Решим уравнение:
$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,$$
$$a_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
Получаем:
$$a_1=1,\qquad a_2=4.$$
Ответ: $$1;\,4.$$
