Вариант 4 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-(6a-5)x-30a=0.$$

Найдём его корни. Дискриминант:

$$D=(6a-5)^2+120a=36a^2+60a+25=(6a+5)^2.$$

Тогда

$$x_1=\frac{(6a-5)-(6a+5)}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{(6a-5)+(6a+5)}{2}=6a.$$

Оба корня должны принадлежать промежутку $$(-6;1).$$

Для корня $$x_1=-5$$ это условие выполняется всегда. Для второго корня получаем:

$$-6<6a<1,$$

$$-1<a<\frac16.$$

Ответ: $$\left(-1;\frac16\right).$$

2) Рассмотрим уравнение

$$ax^2-x+5=0.$$

Чтобы один корень был больше $$-2,$$ а другой меньше $$-2,$$ точка $$x=-2$$ должна лежать между корнями. Значит, при подстановке $$x=-2$$ значение многочлена должно быть отрицательным:

$$f(-2)=4a+2+5=4a+7<0.$$

Отсюда

$$a<-\frac74.$$

При этом уравнение должно быть квадратным, то есть

$$a\ne 0.$$

Но при $$a<-\frac74$$ это условие уже выполнено.

Ответ: $$\left(-\infty;-\frac74\right).$$

3) Рассмотрим уравнение

$$x^2+(2a+6)x+a^2-6a+8=0.$$

Чтобы оба корня были отрицательными, нужно:

$$\begin{cases} D\ge 0,\\ x_1+x_2<0,\\ x_1x_2>0. \end{cases}$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a+6)^2-4(a^2-6a+8)=48a+4=4(12a+1).$$

Следовательно,

$$12a+1\ge 0,\qquad a\ge -\frac1{12}.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-(2a+6),\qquad x_1x_2=a^2-6a+8=(a-2)(a-4).$$

Тогда

$$-(2a+6)<0 \;\Rightarrow\; a>-3,$$

$$(a-2)(a-4)>0 \;\Rightarrow\; a<2 \text{ или } a>4.$$

Пересекаем все условия:

$$a\ge -\frac1{12},\quad a>-3,\quad a<2 \text{ или } a>4.$$

Получаем

$$a\in\left[-\frac1{12};2\right)\cup(4;+\infty).$$

Ответ: $$\left[-\frac1{12};2\right)\cup(4;+\infty).$$