Вариант 4 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Упростите выражение $$\frac{16}{n+8}\cdot C(n+9,n+7)$$.
- Решите в натуральных числах уравнение $$A(x+4,2)+C(x+7,x+5)=111$$.
- Оркестру требуются скрипачи и флейтисты. На место скрипача претендуют 9 кандидатов, на место флейтиста — 7 кандидатов. Сколько существует вариантов приёма в оркестр 4 скрипачей и 3 флейтистов?
- В шахматном кружке занимается 15 человек. Из них нужно сформировать команду из 6 человек, причём Саша и Вова не могут входить в команду одновременно. Сколькими способами это можно сделать?
Упростим выражение:
$$\frac{16}{n+8}\cdot C_{n+9}^{\,n+7}=\frac{16}{n+8}\cdot \frac{(n+9)!}{(n+7)!\,2!}$$
$$=\frac{16}{n+8}\cdot \frac{(n+9)(n+8)}{2}=8(n+9).$$
Решим уравнение:
$$A_{x+4}^{\,2}+C_{x+7}^{\,x+5}=111.$$
$$\frac{(x+4)!}{(x+2)!}+\frac{(x+7)!}{(x+5)!\,2!}=111,$$
$$2(x+4)(x+3)+(x+7)(x+6)=222,$$
$$2x^2+14x+24+x^2+13x+42=222,$$
$$3x^2+27x-156=0,$$
$$x^2+9x-52=0.$$
$$D=9^2-4\cdot 1\cdot(-52)=81+208=289,$$
$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 17}{2}.$$
Получаем $$x_1=-13,$$ $$x_2=4.$$
Так как $$x$$ — натуральное число, подходит только $$x=4.$$
Число способов выбрать 4 скрипачей из 9 и 3 флейтистов из 7:
$$N=C_9^4\cdot C_7^3=\frac{9!}{5!\,4!}\cdot \frac{7!}{3!\,4!}.$$
$$N=126\cdot 35=4410.$$
Всего способов выбрать команду из 6 человек:
$$C_{15}^6.$$
Нужно исключить команды, в которые одновременно входят Саша и Вова. Тогда остаётся выбрать ещё 4 человека из остальных 13:
$$C_{13}^4.$$
Искомое число способов:
$$N=C_{15}^6-C_{13}^4.$$
$$C_{15}^6=\frac{15!}{6!\,9!}=5005,\qquad C_{13}^4=\frac{13!}{4!\,9!}=715.$$
$$N=5005-715=4290.$$
Ответ
1) $$8(n+9)$$; 2) $$4$$; 3) $$4410$$; 4) $$4290$$.
