Вариант 4 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. В соревнованиях по толканию ядра участвует 7 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье, четвёртое и пятое места?
2. Решите в натуральных числах уравнение:
   1) $$A(x+6;2)=210$$;
   2) $$\frac{P(x+7)}{A(x+4,8)\cdot P(x-4)}=990$$.
3. Сколько различных семизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и пятая цифры были чётными?

1) Число способов распределить первые пять мест среди семи спортсменов равно числу размещений:

$$A_7^5=\frac{7!}{(7-5)!}=\frac{7!}{2!}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=2520.$$

Ответ: $$2520.$$

2. Решите уравнение

1. $$A_{x+6}^2=210,$$

   $$\frac{(x+6)!}{(x+4)!}=210,$$

   $$(x+6)(x+5)=210.$$

   $$x^2+11x+30=210,$$

   $$x^2+11x-180=0.$$

   $$D=11^2-4\cdot 1\cdot(-180)=121+720=841,$$

   $$x=\frac{-11\pm 29}{2}.$$

   $$x_1=-20,\quad x_2=9.$$

   Так как число размещений определено при натуральном $$x$$, подходит только $$x=9.$$

2. $$\frac{P_{x+7}}{A_{x+4}^8\cdot P_{x-4}}=990,$$

   $$\frac{(x+7)!}{(x+4)!}\cdot \frac{(x-4)!}{(x-4)!}=990,$$

   $$\frac{(x+7)!}{(x+4)!}=990,$$

   $$(x+7)(x+6)(x+5)=990.$$

   Проверим натуральные значения:

   $$4\cdot 5\cdot 6=120,\quad 5\cdot 6\cdot 7=210,\quad 6\cdot 7\cdot 8=336,\quad 7\cdot 8\cdot 9=504,$$

   $$8\cdot 9\cdot 10=720,\quad 9\cdot 10\cdot 11=990.$$

   Значит, $$x=2.$$

Ответ: 1) $$9$$; 2) $$2$$.

3. Сколько различных семизначных чисел можно записать

Первая цифра может быть любой из чисел $$1,2,3,4,5,6,7,8,9$$, кроме ограничений на вторую и пятую позиции. Чётных цифр среди них четыре: $$2,4,6,8.$$

Выберем цифры для второй и пятой позиций: $$4\cdot 3$$ способов.

Оставшиеся пять цифр расставим на остальные места: $$7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$$ способов.

Тогда

$$N=4\cdot 3\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=30240.$$

Ответ: $$30240.$$