Вариант 4 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $$n$$ выполняется равенство $$1+9+17+\dots+8n-7=n(4n-3)$$.
2. Докажите неравенство $$7^n>6n+5$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq2$$.
3. Докажите, что для любого натурального $$n$$ значение выражения $$24^n+25\cdot11^n$$ кратно 13.

1. Докажем по индукции равенство $$1+9+17+\dots+8n-7=n(4n-3).$$

   База индукции: при $$n=1$$ имеем

   $$1=1\cdot(4\cdot1-3),$$

   то есть равенство верно.

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

   $$1+9+17+\dots+(8k-7)=k(4k-3).$$

   Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

   $$1+9+17+\dots+(8k-7)+\bigl(8(k+1)-7\bigr)$$
   $$=k(4k-3)+8k+1$$
   $$=4k^2-3k+8k+1$$
   $$=4k^2+5k+1$$
   $$=(k+1)(4k+1)$$
   $$=(k+1)\bigl(4(k+1)-3\bigr).$$

   Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.

2. Докажем неравенство $$7^n>6n+5$$ при $$n\ge 2$$.

   База индукции: при $$n=2$$

   $$7^2=49,\qquad 6\cdot2+5=17,$$

   значит, $$49>17$$.

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ выполняется

   $$7^k>6k+5.$$

   Тогда

   $$7^{k+1}=7\cdot7^k>7(6k+5)=42k+35.$$

   Сравним:

   $$42k+35-(6(k+1)+5)=42k+35-(6k+11)=36k+24>0.$$

   Значит, $$7^{k+1}>6(k+1)+5$$. Неравенство верно для всех $$n\ge 2$$.

3. Докажем, что число $$24^n+25\cdot11^n$$ кратно $$13$$ при любом натуральном $$n$$.

   База индукции: при $$n=1$$

   $$24+25\cdot11=299,\qquad 299:13,$$

   то есть выражение делится на $$13$$.

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ число $$24^k+25\cdot11^k$$ кратно $$13$$. Тогда

   $$24^{k+1}+25\cdot11^{k+1} =24\cdot24^k+25\cdot11\cdot11^k$$
   $$=24(24^k+25\cdot11^k)-25\cdot13\cdot11^k.$$

   Первое слагаемое кратно $$13$$ по предположению индукции, второе тоже кратно $$13$$. Значит, и вся сумма кратна $$13$$.

   Следовательно, $$24^n+25\cdot11^n$$ делится на $$13$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$1+9+17+\dots+8n-7=n(4n-3)$$;
2) $$7^n>6n+5$$ при $$n\ge 2$$;
3) $$24^n+25\cdot11^n$$ кратно $$13$$ при любом натуральном $$n$$.