Вариант 4 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
- На рисунке 7 изображён график функции $$y=f(x)$$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) $$\min(\mathbb{R},f(x))$$; $$\max(\mathbb{R},f(x))$$;
5) $$\min([-4;-3],f(x))$$; $$\max([-4;-3],f(x))$$. - Докажите, что функция $$f(x)=\frac{5}{x+3}$$ убывает на промежутке $$(-\infty;-3)$$.
- Найдите $$\min(D(f),f(x))$$ и $$\max(D(f),f(x))$$, если $$f(x)=5-\sqrt{16-x^2}$$.
- Убывающая функция $$f$$ определена на множестве $$\mathbb{R}$$. Возрастающей или убывающей является функция $$f(g(x))$$, если $$g(x)=2x-5$$?
- Решите уравнение $$x^3+5\sqrt{3x+10}=2$$.
1) По графику:
- нули функции: $$x=-4$$ и $$x=0$$;
- $$y>0$$ при $$x<-4$$ и $$x>0$$;
- функция возрастает на $$[-2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]$$;
- $$\min\limits_{\mathbb{R}} f(x)=-4,$$ $$\max\limits_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует;
- $$\min\limits_{[-4;-3]} f(x)=-3,$$ $$\max\limits_{[-4;-3]} f(x)=0.$$
Ход решения
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{5}{x+3}$$ на промежутке $$(-\infty;-3).$$
Если $$x_1<x_2<-3,$$ то $$x_1+3<x_2+3<0.$$
При переходе к обратным величинам знак неравенства меняется:
$$\dfrac{1}{x_1+3}>\dfrac{1}{x_2+3}.$$
Умножая на положительное число $$5,$$ получаем:
$$\dfrac{5}{x_1+3}>\dfrac{5}{x_2+3}.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-3).$$
3) $$f(x)=5-\sqrt{16-x^2}.$$
Найдём область значений выражения под корнем:
$$x^2\ge 0,\qquad 16-x^2\le 16,$$
а так как $$16-x^2\ge 0,$$ то
$$0\le \sqrt{16-x^2}\le 4.$$
Тогда
$$1\le 5-\sqrt{16-x^2}\le 5.$$
Следовательно,
$$\min\limits_{D(f)} f(x)=1,\qquad \max\limits_{D(f)} f(x)=5.$$
4) Функция $$f$$ убывающая, а $$g(x)=2x-5$$ — возрастающая, так как при $$x_2>x_1$$ имеем $$g(x_2)>g(x_1).$$
Поскольку убывающая функция сохраняет порядок наоборот, то из $$g(x_2)>g(x_1)$$ следует
$$f(g(x_2))<f(g(x_1)).$$
Значит, функция $$f(g(x))$$ убывает.
5) Решим уравнение:
$$x^3+5\sqrt{3x+10}=2.$$
Перенесём:
$$x^3-2=-5\sqrt{3x+10}.$$
Правая часть не положительна, значит и левая должна быть не положительна. Проверим значение $$x=-2.$$
$$(-2)^3+5\sqrt{3\cdot(-2)+10}=-8+5\sqrt{4}=-8+10=2.$$
Следовательно, $$x=-2$$ — решение.
Ответ
1) $$x=-4,\ 0$$; $$y>0$$ при $$x<-4$$ и $$x>0$$; возрастает на $$[-2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]$$; $$\min_{\mathbb{R}} f(x)=-4,$$ $$\max_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует; $$\min_{[-4;-3]} f(x)=-3,$$ $$\max_{[-4;-3]} f(x)=0.$$
2) Убывает.
3) $$\min\limits_{D(f)} f(x)=1,\ \max\limits_{D(f)} f(x)=5.$$
4) Убывает.
5) $$x=-2.$$
