Вариант 4 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 19. Математическое моделирование
- Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно $$21\text{ км}$$, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через $$3\text{ ч}$$. Найдите скорость каждого туриста, если один из них потратил на весь путь на $$1\text{ ч }45\text{ мин}$$ меньше, чем другой.
- Два маляра, работая одновременно, могут покрасить фасад здания за $$3\text{ ч }36\text{ мин}$$. Если же сначала первый маляр покрасит самостоятельно $$\frac{2}{3}$$ фасада, а затем второй — оставшуюся часть фасада, то весь фасад будет покрашен за $$7\text{ ч}$$. За сколько часов может покрасить фасад здания каждый маляр, работая самостоятельно?
- В двух сплавах массы меди и никеля относятся как $$2:7$$ и $$5:4$$ соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить $$54\text{ кг}$$ нового сплава, в котором массы меди и никеля относятся как $$4:5$$?
1) Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого туриста, $$y$$ км/ч — скорость второго.
Тогда за 3 ч они вместе прошли $$21$$ км:
$$3(x+y)=21,$$
откуда
$$x+y=7.$$
Время на весь путь равно $$\frac{21}{x}$$ и $$\frac{21}{y}$$. По условию один турист затратил на $$1\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{7}{4}$$ ч меньше:
$$\frac{21}{x}-\frac{21}{y}=\frac{7}{4}.$$
Подставим $$y=7-x$$:
$$\frac{21}{x}-\frac{21}{7-x}=\frac{7}{4}.$$
Умножим на $$4x(7-x)$$:
$$84(7-x)-84x=7x(7-x),$$
$$588-168x=49x-7x^2,$$
$$7x^2-217x+588=0,$$
$$x^2-31x+84=0.$$
$$D=31^2-4\cdot 84=625,$$
$$x=\frac{31\pm 25}{2}.$$
Получаем $$x=3$$ или $$x=28$$. Тогда из $$x+y=7$$ подходит только $$x=3$$, $$y=4$$.
2) Пусть $$x$$ ч — время, за которое первый маляр красит фасад один, $$y$$ ч — время второго.
Тогда их совместная производительность:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3\frac{3}{5}}=\frac{1}{\frac{18}{5}}=\frac{5}{18}.$$
Если первый красит $$\frac{2}{3}$$ фасада, а второй — оставшуюся $$\frac{1}{3}$$, то:
$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=7.$$
Умножим на $$3$$:
$$2x+y=21,$$
$$y=21-2x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{21-2x}=\frac{5}{18}.$$
Умножим на $$18x(21-2x)$$:
$$18(21-2x)+18x=5x(21-2x),$$
$$378-36x+18x=105x-10x^2,$$
$$10x^2-123x+378=0.$$
$$D=123^2-4\cdot 10\cdot 378=9,$$
$$x=\frac{123\pm 3}{20}.$$
Получаем $$x=6$$ или $$x=6{,}3$$. Тогда
$$y=21-2x,$$
откуда $$y=9$$ или $$y=8{,}4.$$
Значит, первый маляр может покрасить фасад за $$6$$ ч, второй — за $$9$$ ч; либо первый — за $$6\text{ ч }18\text{ мин}$$, второй — за $$8\text{ ч }24\text{ мин}$$.
3) Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго.
Тогда
$$x+y=54.$$
В первом сплаве меди $$\frac{2}{9}x$$, никеля $$\frac{7}{9}x$$; во втором — меди $$\frac{5}{9}y$$, никеля $$\frac{4}{9}y$$.
В новом сплаве отношение меди к никелю равно $$4:5$$, значит меди должно быть $$54\cdot \frac{4}{9}=24$$ кг:
$$\frac{2}{9}x+\frac{5}{9}y=24.$$
Подставим $$y=54-x$$:
$$\frac{2}{9}x+\frac{5}{9}(54-x)=24,$$
$$2x+270-5x=216,$$
$$-3x=-54,$$
$$x=18,$$
$$y=54-18=36.$$
Ответ
1) $$3$$ км/ч и $$4$$ км/ч. 2) $$6$$ ч и $$9$$ ч; $$6$$ ч $$18$$ мин и $$8$$ ч $$24$$ мин. 3) $$18$$ кг и $$36$$ кг.
