Вариант 4 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Для положительных чисел $$x$$ и $$y$$ докажите неравенство $$\frac{18x}{y}+\frac{y}{8x}\ge 3$$.
2. При $$b>5$$ докажите неравенство $$b+\frac{1}{b-5}\ge 7$$.
3. Известно, что $$a^2+b^2=28$$, $$c^2+d^2=7$$. Докажите, что $$|ac-bd|\le 14$$.
4. Известно, что $$x+y=1$$. Докажите, что $$\sqrt{x^2+25y^2}+\sqrt{y^2+25x^2}\ge 3\sqrt{2}$$.

1. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел $$\frac{18x}{y}$$ и $$\frac{y}{8x}$$ имеем:

$$\frac{18x}{y}+\frac{y}{8x}\ge 2\sqrt{\frac{18x}{y}\cdot\frac{y}{8x}}=2\sqrt{\frac{18}{8}}=2\sqrt{\frac{9}{4}}=3.$$

Что и требовалось доказать.

2. При $$b>5$$ числа $$b-5$$ и $$\frac{1}{b-5}$$ положительны. Тогда

$$b-5+\frac{1}{b-5}\ge 2\sqrt{(b-5)\cdot\frac{1}{b-5}}=2.$$

Следовательно,

$$b+\frac{1}{b-5}\ge 7.$$

Неравенство доказано.

3. По неравенству Коши-Буняковского

$$|ac-bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.$$

Так как $$a^2+b^2=28$$ и $$c^2+d^2=7$$, то

$$|ac-bd|\le \sqrt{28\cdot 7}=\sqrt{196}=14.$$

Что и требовалось доказать.

4. Так как $$x+y=1$$, то

$$\sqrt{x^2+25y^2}+\sqrt{y^2+25x^2}\ge \frac{x+5y}{\sqrt{2}}+\frac{y+5x}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$\frac{x+5y+y+5x}{\sqrt{2}}=\frac{6(x+y)}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.$$

Значит,

$$\sqrt{x^2+25y^2}+\sqrt{y^2+25x^2}\ge 3\sqrt{2}.$$

Что и требовалось доказать.