Вариант 3 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Для функции $$f(x)=\sqrt{2x-3}+\frac{1}{x^2-x-6}$$ нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:

$$2x-3\ge 0,$$

$$x^2-x-6\ne 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

Тогда

$$x\ne 3,\quad x\ne -2,$$

а также

$$x\ge \frac32.$$

С учётом этого получаем:

$$D(f)=\left[\frac32;3\right)\cup(3;+\infty).$$

2) Найдём область значений.

1) $$y=2+\frac{x^3}{x}=2+x^2,\quad x\ne 0.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то

$$y>2.$$

Следовательно,

$$E(y)=(2;+\infty).$$

2) $$y=\frac{x-3}{x^2}.$$

Преобразуем:

$$yx^2=x-3,$$

$$yx^2-x+3=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=1-4\cdot y\cdot 3=1-12y\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le \frac{1}{12}.$$

Значит,

$$E(y)=\left(-\infty;\frac{1}{12}\right].$$

3) Даны $$f(x)=3x-2$$ и $$g(x)=x^2-1.$$

1) $$g(5x)=(5x)^2-1=25x^2-1.$$

2) $$f(g(x))=3(x^2-1)-2=3x^2-5.$$

4) $$y=\frac{12-3x}{x^2-4x}.$$

Разложим на множители:

$$y=\frac{3(4-x)}{x(x-4)}=\frac{3\bigl(-(x-4)\bigr)}{x(x-4)}=-\frac{3}{x}.$$

Но при этом исходная функция не определена при $$x=0$$ и $$x=4$$, поэтому график функции $$y=-\frac{3}{x}$$ нужно построить с выколотой точкой при $$x=4$$.

Область определения:

$$x\ne 0,\quad x\ne 4.$$

График — гипербола $$y=-\frac{3}{x}$$ с асимптотами $$x=0$$ и $$y=0$$, при этом точка $$\left(4;-\frac34\right)$$ не принадлежит графику.

5) Если $$D(f)=[-2;4],$$ то для функции $$y=f(x-1)$$ нужно, чтобы

$$-2\le x-1\le 4.$$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$$-1\le x\le 5.$$

Следовательно,

$$D(y)=[-1;5].$$

Ответ

1) $$D(f)=\left[\frac32;3\right)\cup(3;+\infty).$$

2) 1) $$E(y)=(2;+\infty);$$ 2) $$E(y)=\left(-\infty;\frac{1}{12}\right].$$

3) 1) $$g(5x)=25x^2-1;$$ 2) $$f(g(x))=3x^2-5.$$

4) $$y=-\frac{3}{x},\quad x\ne 0,\ x\ne 4.$$

5) $$D(y)=[-1;5].$$