Вариант 3 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   
   1) $$4x^2-8xy+5y^2\geq 0$$;
   
   2) $$x^2y^2+x^2+9y^2+1\geq 8xy$$;
   
   3) $$\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+5)}<\frac{1}{5}$$, где $$n\in\mathbb{N}$$;
   4) $$16a^2+9b^2+1\geq 12ab-3b-4a$$.
2. Известно, что $$x\in[0;3]$$, $$y\in[0;3]$$, $$z\in[0;3]$$. Докажите неравенство
   $$\frac{x}{6+y}+\frac{y}{6+z}+\frac{z}{6+x}\leq 1$$.

$$4x^2-8xy+5y^2=4x^2-8xy+4y^2+y^2=(2x-2y)^2+y^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство доказано.

$$x^2y^2+x^2+9y^2+1-8xy=x^2y^2-2xy+1+x^2-6xy+9y^2=(xy-1)^2+(x-3y)^2\ge 0.$$

Значит,

$$x^2y^2+x^2+9y^2+1\ge 8xy.$$

Неравенство доказано.

$$\frac1{1\cdot 6}+\frac1{6\cdot 11}+\cdots+\frac1{(5n-4)(5n+1)}<\frac15.$$

Преобразуем каждую дробь:

$$\frac1{(5k-4)(5k+1)}=\frac15\left(\frac1{5k-4}-\frac1{5k+1}\right).$$

Тогда

$$\frac1{1\cdot 6}+\frac1{6\cdot 11}+\cdots+\frac1{(5n-4)(5n+1)} =\frac15\left(1-\frac1{6}+\frac1{6}-\frac1{11}+\cdots+\frac1{5n-4}-\frac1{5n+1}\right)$$

$$=\frac15\left(1-\frac1{5n+1}\right)<\frac15,$$

так как $$\frac1{5n+1}>0.$$

Неравенство доказано.

$$16a^2+9b^2+1\ge 12ab-3b-4a.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$16a^2+9b^2+1-12ab+3b+4a\ge 0.$$

Допишем до квадратов:

$$16a^2+8a+1+9b^2+6b+1-24ab\ge 0,$$

$$(4a+1)^2+(3b+1)^2-2(4a+1)(3b+1)\ge 0,$$

$$\bigl((4a+1)-(3b+1)\bigr)^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство верно.

Пусть $$x,y,z\in[0;3].$$ Тогда

$$x+y\le 6,\qquad y+z\le 6,\qquad z+x\le 6.$$

Отсюда

$$6+y\ge x+y+z,\qquad 6+z\ge x+y+z,\qquad 6+x\ge x+y+z.$$

Так как все знаменатели положительны, то

$$\frac{x}{6+y}\le \frac{x}{x+y+z},\qquad \frac{y}{6+z}\le \frac{y}{x+y+z},\qquad \frac{z}{6+x}\le \frac{z}{x+y+z}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{x}{6+y}+\frac{y}{6+z}+\frac{z}{6+x}\le \frac{x+y+z}{x+y+z}=1.$$

Что и требовалось доказать.