Вариант 3 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Изобразите на координатной плоскости \(xy\) множество решений системы неравенств
   $$\begin{cases} x^2+y^2?5,\\ xy>-2. \end{cases}$$
2. Изобразите график неравенства:
   
   1) $$\lvert x+3y\rvert<2$$;
   2) $$\sqrt{x+3y}<\sqrt{x-2y+2}$$.
3. Изобразите на координатной плоскости \(xy\) множество точек, координаты которых удовлетворяют условию
   $$\max\{-2x,1\}=y+3.$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2\le 5,\\ xy>-2. \end{cases}$$

Первое неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{5}$$, включая границу.

Второе неравенство равносильно

$$y>-\frac{2}{x}\quad \text{при } x>0, \qquad y<-\frac{2}{x}\quad \text{при } x<0.$$

Искомое множество — часть круга $$x^2+y^2\le 5$$, лежащая выше гиперболы в I четверти и ниже гиперболы в III четверти.

2)

1. Для неравенства $$|x+3y|<2$$ получаем

$$-2<x+3y<2,$$

откуда

$$-x-2<3y<-x+2,$$

$$-\frac{x}{3}-\frac{2}{3}<y<-\frac{x}{3}+\frac{2}{3}.$$

Это полоса между прямыми $$y=-\frac{x}{3}-\frac{2}{3}$$ и $$y=-\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$$ без границ.

2. Для неравенства $$\sqrt{x+3y}<\sqrt{x-2y+2}$$ учитываем область определения:

$$x+3y\ge 0,\qquad x-2y+2\ge 0.$$

Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то

$$x+3y<x-2y+2,$$

$$5y<2,\qquad y<\frac{2}{5}.$$

Следовательно, решение — пересечение полуплоскостей

$$x+3y\ge 0,\qquad x-2y+2\ge 0,\qquad y<\frac{2}{5}.$$

3) Рассмотрим уравнение

$$\max\{-2x,1\}=y+3.$$

Если $$-2x\ge 1$$, то $$\max\{-2x,1\}=-2x$$ и

$$y=-2x-3.$$

Если $$-2x<1$$, то $$\max\{-2x,1\}=1$$ и

$$y=-2.$$

График состоит из двух частей: луча прямой $$y=-2x-3$$ при $$x\le -\frac12$$ и горизонтального луча $$y=-2$$ при $$x>-\frac12$$.

Ответ

1) $$x^2+y^2\le 5,\ xy>-2$$ — часть круга $$x^2+y^2\le 5$$, лежащая вне области $$xy\le -2$$.

2) $$|x+3y|<2 \iff -\frac{x}{3}-\frac{2}{3}<y<-\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$$;
$$\sqrt{x+3y}<\sqrt{x-2y+2} \iff \begin{cases}x+3y\ge 0,\\ x-2y+2\ge 0,\\ y<\frac25.\end{cases}$$

3) $$y=\max\{-2x,1\}-3$$, то есть $$y=-2x-3$$ при $$x\le -\frac12$$ и $$y=-2$$ при $$x>-\frac12$$.