Вариант 3 Самостоятельная работа 15 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 15. Неравенства с двумя переменными

1. Постройте график неравенства:
   
   1) $$y?x^2+x-2$$;
   
   2) $$xy<6$$;
   3) $$(2x+y+1)(x-y+3)>0$$;
   
   4) $$\frac{y+\frac{1}{2}x^2}{|y+2|}>0$$.

1) Построим границу неравенства $$y=x^2+x-2.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}, \qquad y_0=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2=-\frac94.$$

Значит, вершина параболы $$\left(-\frac12,-\frac94\right).$$

Так как требуется $$y\ge x^2+x-2,$$ то берём все точки, лежащие выше параболы, вместе с самой параболой.

2) Для неравенства $$xy<6$$ рассмотрим знак $$x$$:

• если $$x>0,$$ то $$y<\frac{6}{x};$$
• если $$x<0,$$ то при делении на отрицательное число знак меняется: $$y>\frac{6}{x}.$$

Граница — гипербола $$xy=6,$$ она не входит в решение. Нужно заштриховать область, лежащую ниже ветви в I четверти и выше ветви в III четверти.

3) $$\left(2x+y+1\right)\left(x-y+3\right)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

1. $$2x+y+1>0,\quad x-y+3>0,$$ то есть $$y>-2x-1,\quad y<x+3;$$
2. $$2x+y+1<0,\quad x-y+3<0,$$ то есть $$y<-2x-1,\quad y>x+3.$$

Следовательно, решение — объединение двух областей:

$$\{\,y>-2x-1,\; y<x+3\,\}\cup\{\,y<-2x-1,\; y>x+3\,\}.$$

Границы не входят в решение, поэтому прямые нужно проводить пунктиром.

4) $$\frac{y+\frac12x^2}{|y+2|}>0.$$

Так как $$|y+2|>0$$ при $$y\ne -2,$$ знак дроби определяется числителем. Поэтому:

$$y+\frac12x^2>0,\qquad y\ne -2.$$

Отсюда

$$y>-\frac{x^2}{2},\qquad y\ne -2.$$

Значит, нужно взять область выше параболы $$y=-\frac{x^2}{2}$$, исключив прямую $$y=-2.$$

Ответ

1) область выше параболы $$y=x^2+x-2$$;
2) область, где $$xy<6$$;
3) $$\{\,y>-2x-1,\; y<x+3\,\}\cup\{\,y<-2x-1,\; y>x+3\,\};$$
4) $$y>-\frac{x^2}{2},\; y\ne -2.$$