Вариант 3 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 14. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными
Решите системы уравнений:
- 1) $$\left\{\frac{x}{y}-\frac{x}{y}=\frac{16}{15}\right.$$
- 3) $$\left\{\begin{aligned} x^2+xy-12y^2&=0,\\ 2x^2-3xy+y^2&=90 \end{aligned}\right.$$
- 2) $$\left\{\begin{aligned} \sqrt{x^2-5}+\sqrt{y^2+5}&=7,\\ x^2+y^2&=29 \end{aligned}\right.$$
- 4) $$\left\{\begin{aligned} x+y+xy&=-19,\\ xy(x+y)&=-20 \end{aligned}\right.$$
1) Пусть $$t=\frac{y}{x}$$, тогда $$\frac{x}{y}=\frac{1}{t}$$. Получаем
$$t-\frac{1}{t}=\frac{16}{15}$$
$$15t^2-16t-15=0$$
$$D=16^2+4\cdot 15\cdot 15=1156$$
$$t_1=\frac{16-34}{30}=-\frac35,\qquad t_2=\frac{16+34}{30}=\frac53$$
1-й случай: $$\frac{y}{x}=-\frac35,\; y=-\frac35x$$
Из второго уравнения $$4y-5x=15$$, тогда
$$4\left(-\frac35x\right)-5x=15$$
$$-\frac{37}{5}x=15,\qquad x=-\frac{75}{37}=-2\frac{1}{37}$$
$$y=-\frac35\cdot\left(-\frac{75}{37}\right)=\frac{45}{37}=1\frac{8}{37}$$
2-й случай: $$\frac{y}{x}=\frac53,\; y=\frac53x$$
$$4\cdot\frac53x-5x=15$$
$$\frac53x=15,\qquad x=9$$
$$y=\frac53\cdot 9=15$$
Ответ: $$\left(-2\frac{1}{37};\;1\frac{8}{37}\right),\; (9;\;15)$$
2) Из второго уравнения
$$y^2=29-x^2$$
Тогда первое уравнение принимает вид
$$\sqrt{x^2-5}+\sqrt{34-x^2}=7$$
Обозначим $$a=x^2-5$$, тогда $$34-x^2=29-a$$, и получаем
$$\sqrt{a}+\sqrt{29-a}=7$$
Возведём в квадрат:
$$a+29-a+2\sqrt{a(29-a)}=49$$
$$2\sqrt{a(29-a)}=20$$
$$a(29-a)=100$$
$$a^2-29a+100=0$$
$$D=29^2-4\cdot 100=441$$
$$a_1=\frac{29-21}{2}=4,\qquad a_2=\frac{29+21}{2}=25$$
1) $$x^2-5=4,\; x^2=9,\; x=\pm 3$$
Тогда $$y^2=29-9=20,\; y=\pm 2\sqrt5$$.
2) $$x^2-5=25,\; x^2=30,\; y^2=29-30=-1$$ — не подходит.
Ответ: $$(-3;\,-2\sqrt5),\; (-3;\,2\sqrt5),\; (3;\,-2\sqrt5),\; (3;\,2\sqrt5)$$
3) Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $$x$$:
$$x^2+xy-12y^2=0$$
$$D=y^2+48y^2=49y^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-y\pm 7y}{2}$$
Отсюда
$$x_1=-4y,\qquad x_2=3y$$
1-й случай: $$x=-4y$$
Подставим во второе уравнение:
$$2x^2-3xy+y^2=90$$
$$2\cdot 16y^2-3\cdot(-4y)\cdot y+y^2=90$$
$$45y^2=90,\qquad y^2=2$$
$$y=\pm\sqrt2,\qquad x=\mp 4\sqrt2$$
2-й случай: $$x=3y$$
$$2\cdot 9y^2-3\cdot 3y^2+y^2=90$$
$$10y^2=90,\qquad y^2=9$$
$$y=\pm 3,\qquad x=\pm 9$$
Ответ: $$(-9;\,-3),\; (9;\,3),\; (-4\sqrt2;\,\sqrt2),\; (4\sqrt2;\,-\sqrt2)$$
4) Обозначим $$u=x+y$$, $$t=xy$$. Тогда система принимает вид
$$u+t=-19,\qquad ut=-20$$
Из первого уравнения $$u=-19-t$$. Подставим во второе:
$$t(-19-t)=-20$$
$$t^2+19t-20=0$$
$$D=19^2+4\cdot 20=441$$
$$t_1=\frac{-19-21}{2}=-20,\qquad t_2=\frac{-19+21}{2}=1$$
1-й случай: $$x+y=1,\; xy=-20$$
Тогда $$y=1-x$$ и
$$x(1-x)=-20$$
$$x^2-x-20=0$$
$$D=1+80=81$$
$$x_1=\frac{1-9}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{1+9}{2}=5$$
$$y_1=1-(-4)=5,\qquad y_2=1-5=-4$$
2-й случай: $$x+y=-20,\; xy=1$$
Тогда $$y=-x-20$$ и
$$x(-x-20)=1$$
$$x^2+20x+1=0$$
$$D=400-4=396=36\cdot 11$$
$$x=\frac{-20\pm 6\sqrt{11}}{2}=-10\pm 3\sqrt{11}$$
Соответственно
$$y=-10\mp 3\sqrt{11}$$
Ответ: $$(-4;\,5),\; (5;\,-4),\; (-10+3\sqrt{11};\,-10-3\sqrt{11}),\; (-10-3\sqrt{11};\,-10+3\sqrt{11})$$
